El analisis dual de la produccion

CAPITULO 3

EL ANALISIS DUAL DE LA PRODUCCION

3.1. Diferencias entre el análisis primal y el dual

El análisis empírico primal, estudiado en el capítulo anterior, se centra en la representación de la tecnología, que es uno de los elementos centrales en el análisis de las decisiones de producción. Puesto que las decisiones de los individuos se modelizan suponiendo un comportamiento optimizador sujeto a la restricción que implica la tecnología, el modelo empírico genera predicciones cuantitativas contrastables sobre las decisiones de producción observadas. El análisis empírico dual analiza directamente los objetivos de los individuos (por ejemplo, maximización de beneficios y minimización de costes) y sus decisiones (por ejemplo, demanda de inputs y oferta de outputs). Este enfoque constituye un camino alternativo para generar predicciones cuantitativas contrastables sobre las decisiones de producción observadas.

La existencia de dos vías de análisis tiene importantes ventajas para el análisis teórico. En ocasiones, problemas intratables desde el punto de vista del primal son sencillos o incluso triviales en el análisis dual (Varian, 1992; p. 81). Por ejemplo, en el enfoque primal, el análisis del efecto del precio de un factor en su demanda se efectúa a través del estudio de las soluciones de un enrevesado sistema de ecuaciones obtenido bajo el supuesto de minimización de costes. Puesto que este supuesto está ya incorporado en el análisis dual, ese efecto se puede deducir directamente de la función de costes .

Desde el punto de vista empírico la dualidad supone una ampliación de las posibilidades que tiene un investigador para realizar un análisis empírico de la producción. En este sentido, la dualidad se puede ver como un camino alternativo cuando otro camino es dificultoso o está cortado. Por ejemplo, la estimación de una función de producción requiere la existencia de datos detallados sobre los inputs y outputs del proceso productivo. Puede darse el caso de que exista información sobre outputs producidos pero no así sobre inputs usados. En este caso, el camino de la función de producción está cerrado pero, si existen datos sobre los precios de los factores, la función de costes proporciona una oportunidad de analizar empíricamente el fenómeno de interés. Otro caso posible, es que no existan datos sobre la cantidad producida por una empresa. En este caso, parece que incluso el camino de la función de costes está cortado (dado que mide el coste de obtener un determinado nivel de producción). Sin embargo, si existen precios de los inputs y de los outputs la función de beneficio proporciona una oportunidad para el análisis empírico.

El concepto de dualidad se usa casi coloquialmente para referirse al hecho de que un mismo fenómeno puede estudiarse desde dos puntos de vista alternativos. En términos más rigurosos, la teoría de la dualidad contiene un conjunto de teoremas que aseguran la coherencia interna de los dos caminos de análisis. En otras palabras, la dualidad analiza las propiedades de las funciones de costes, beneficios, ingresos, etc que aseguran que son el resultado de un proceso de optimización a partir de una tecnología caracterizada por unas mínimas propiedades de regularidad.

3.2. La función de costes

En primer lugar, es necesario recordar la importante distinción que existe entre dos términos relacionados pero claramente distintos: costes y función de costes. Por coste se entiende la suma de los gastos en cada uno de los inputs, es decir, es una variable. Su expresión matemática es:

(3. 1)

donde C son los costes, w son los precios de los inputs, x son las cantidades empleadas de los inputs y el subíndice j denota inputs.

Por su parte, la función de costes, C(∙), es una relación entre el coste y un conjunto de variables explicativas que se determinan por un proceso de optimización. De hecho, la función de costes indica el mínimo coste de producir cada nivel de output, dados unos precios de los factores. Esta función se obtiene como el resultado de minimizar el coste de producir el output deseado, sujeto a la restricción que impone la tecnología. Es decir,

(3. 2)

El lagrangiano correspondiente es:

(3. 3)

donde  es el multiplicador de Lagrange.

Las condiciones de primer orden para la minimización de (3.3) pueden expresarse como:

(3. 4)

Las condiciones de primer orden para un proceso productivo con k inputs definen un sistema de k+1 ecuaciones con k+1 incógnitas (k inputs y ). La solución a este sistema de ecuaciones son las cantidades óptimas de los inputs (x*) y el multiplicador de Lagrange (*). Las condiciones de segundo orden se pueden expresar en términos de un hessiano orlado (Silberberg, 2000, p.183). Desde un punto de vista económico, las condiciones de segundo orden implican la cuasiconcavidad de la función de producción.

Las cantidades óptimas de inputs (x*) que se deben usar para minimizar el coste de producción cambian con los precios de los inputs y con la cantidad de output. La relación funcional entre las cantidades óptimas de inputs, sus precios y las cantidades de output se conoce como función de demanda de inputs y se suele escribir como:

(3. 5)

Sustituyendo las cantidades óptimas de factores en la expresión del coste, se obtiene:

(3. 6)

donde C* indica mínimo coste.

Por tanto, la ecuación (3.6) establece una relación funcional entre el coste de producción y los precios de los inputs y las cantidades de output. Este resultado es sumamente importante desde el punto de vista empírico, ya que limita el número de variables a incluir en la estimación de una función de costes: sólo hay que emplear datos de precios de inputs y cantidades producidas. Adicionalmente, la teoría económica proporciona una serie de propiedades que la relación funcional citada debe poseer para poder ser considerada una función de costes.

La discusión precedente contiene una gran parte de los elementos que explica la popularidad de la función de costes en el análisis empírico. En primer lugar, bajo el supuesto de minimización de costes los inputs usados son cantidades elegidas por los productores y, por tanto, afectadas por elementos aleatorios parecidos a los que afectan la transformación de inputs en outputs. Por tanto, existe un cierto escepticismo sobre la exogeneidad de los inputs a la hora de estimar una función de producción (Griliches y Mairesse, 1997). La función de costes permite analizar el proceso productivo sin sufrir este problema ya que las variables explicativas son los precios de los inputs (no las cantidades), que al determinarse en mercados perfectamente competitivos se pueden considerar exógenos. En segundo lugar, permite analizar las características de la tecnología empleada por las empresas minimizadoras de costes de la misma forma que con una función de producción (véase el último apartado de esta sección). Y en tercer lugar, la función de costes permite modelizar con cierta facilidad procesos productivos multiproducto. De hecho, todo el análisis previo se mantiene en el caso de que y represente un vector de outputs en vez de un número real.

3.2.1.- Propiedades de la función de costes

A continuación se estudian las propiedades de la función de costes. Cada propiedad va acompañada de un breve comentario o prueba informal. La demostración rigurosa de estas propiedades puede consultarse en manuales generales de teoría económica como Varian (1992), Silberberg (2000) o en la monografía sobre teoría de la producción de Chambers (1988).

La función de costes presenta las siguientes propiedades: 1) es monótona creciente en los precios de los inputs; 2) es monótona creciente en el nivel de output; 3) es homogénea de grado 1 en los precios de los inputs; y 4) es cóncava en los precios de los inputs.

La primera propiedad implica una relación no decreciente entre el coste de producción y el precio de los inputs. Un descenso del precio de los inputs no puede conducir a una subida de costes, ya que, el coste baja incluso cuando el productor no reacciona ante dicho cambio (ver ecuación 3.1). Bajo el supuesto de minimización de costes, si hace algo será para bajar el coste todavía más. Por el contrario, una subida en el precio de un input no puede conducir a una bajada de costes. Si existe una combinación de inputs que reduce el coste, ésta habría sido adoptada antes de la subida del precio por un productor que minimiza costes. La segunda propiedad indica, por su parte, que el coste no puede reducirse cuando aumenta la cantidad de output. Un incremento del output no se puede hacer con menos inputs debido a la monotonicidad de la función de producción. Por el mismo motivo, una producción menor requiere la utilización de menos inputs, lo que implica una disminución del coste.

La propiedad de homogeneidad lineal en el precio de los inputs refleja el hecho de que lo relevante para las empresas son los precios relativos y no los precios absolutos. Si los precios de todos los inputs cambian en la misma proporción, las decisiones óptimas no cambian (dado que los precios relativos no varían), por lo que el coste varía en la misma proporción en que cambian los precios de los inputs. Un ejemplo claro es el del cambio de unidades de cuenta. Si los precios de los inputs se expresan en euros en vez de en pesetas las decisiones óptimas no deberían cambiar. Sin embargo, el coste

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