Finanzas.

PROBABILIDADES

1. En una caja tenemos 15 bolas blancas, 30 bolas negras y 45 bolas verdes. Si extraemos tres bolas simultáneamente ¿cuál es la probabilidad de que salga una bola de cada color?

Calcularemos los casos posibles del experimento y los casos favorables al suceso del enunciado para aplicar la regla de Laplace. Los casos posibles son las distintas formas de extraer 3 bolas entre 90. El orden no debe tenerse en cuenta. El espacio muestral de este experimento está formado por los cien sucesos elementales: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11,..., 98, 99. Para cada suceso del enunciado calcular sus casos favorables.

Solución

Tenemos 15/90 = 1/6 posibilidades de que nuestra primera bola sea blanca. En este caso, tenemos dos posibilidades para obtener una de cada color:

- que la segunda sea blanca y la tercera negra. La probabilidad de que esto ocurra es de 1/6 x 30/89 x 45/88 = 0.0287

- que la segunda sea negra y la tercera blanca. La probabilidad de que esto ocurra es la misma en el caso anterior, es decir, de 1/6 x 45/89 x 30/88 = 0.0287.

Por tanto, la probabilidad de que saquemos una bola de cada color sacando en primer lugar una bola blanca es de 2 x 0.0287 = 0.057

Tenemos una probabilidad de 30/90 = 1/3 de sacar una bola negra en primer lugar. En este caso, la probabilidad de sacar una bola de cada color es:

1/3 x 15/89 x 45/88 x 2 = 0.057

Sacando una bola verde en primer lugar, la probabilidad sería la misma:

45/90 x 15/89 x 30/88 x 2 = 0.057

Por tanto, la probabilidad total de sacar una bola de cada color se obtiene sumando los tres resultados:

P = 0.057 x 3 = 0.171 = 17%

Para obtenerlo directamente, podemos decir:

P = (n * (n - 1) * b * n * v) / ( T! / (T - n)!)

P = (2 * 3 * 15 * 30 * 45) / (90! / (87)!)

P = 121500 / (90*89*88)

P = 675 / 3916

P = 0.172 = 17.2 %,

fórmula válida para este caso en el que el número de bolas extraídas es igual al número de tipos diferentes de bolas.

n = número de bolas extraídas = número de tipos de bolas

b = nº de bolas blancas

n = nº de bolas negras

v = nº de bolas verdes

T = nº total de bolas = b + n + v

2. Una empresa dedicada al transporte de pasajeros en una ciudad cuenta con 3 líneas, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primera línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús sufra una avería es del 2%, 4% y 1% respectivamente, para cada línea. El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, Hallar la probabilidad de que sufra una avería un autobús.

Solución

El suceso de sufrir una avería puede producirse en las tres líneas (L1, L2 , L3). Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol tenemos:

P (av) =P (L1) X P (av/L1) +P (av/L2) +P (av/L3) =

=0.6 X 0.02 + 0.3 X 0.04 + 0.1 X 0.01=

=0.012 + 0.012 + 0.001

= 0.025

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