Transgenico

Método gráfico.

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Supóngase el usuario, que por un momento es dueño de una planta que produce únicamente dos tipos de cerveza: clara y obscura, Existen tecnologías bastantes para la elaboración de cada uno de los tipos de cerveza, obviamente cada tecnología a un costo diferente.

El usuario no sabe cuál deba ser su producción óptima semanal de cada producto, y por lo tanto se decide a identificar dos variables de decisión.

X1: miles de litros de cerveza clara a producir en una semana.

X2: miles de litros de cerveza obscura a producir en una semana.

El precio al mayoreo de 1000 litros de cerveza clara es de $ 5000.00 mientras que el precio al mayoreo de 1000 litros de cerveza obscura es de $ 3000.00.

El ingreso semanal de la venta de ambos productos sería:

Z = 5000 X1 +3000 X2

Si el objetivo del usuario, como el de cualquier industrial, es el de maximizar los ingresos semanales, produciría un gran volumen de X1 y X2 Cuán grande? Por ejemplo, si produce y vende 100 000 litros de cerveza clara 100 000 litros de cerveza obscura en una semana, un ingreso sería de

Z = 5000(100) +3000(100) = 800000.

Recuerde que las unidades son el miles de litros y por eso es necesario dividir la producción semanal entre 1000.

Para maximizar Z se debe incrementar X1 y X2 . Desgraciadamente hay restricciones físicas en el sistema real de producción que le impiden al dueño de la planta incrementar arbitrariamente la producción de X1 y X2. Entre otras restricciones se pueden mencionar las siguientes: espacio de almacenamiento, capacidad de producción, capital, mano de obra, etc.

Para facilidad de explicación, solo se usarán 2 restricciones:

Restricciones de mano de obra.

Restricciones de costos de producción.

Un estudio de tiempos y movimientos ha demostrado que para producir 1000 litros de cerveza clara se requiere un total de 3 obreros en el proceso de producción. En cambio se requieren 5 obreros para producir 1000 litros de cerveza obscura. Se supone que la planta tiene un total de 15 obreros. Esto quiere decir que la producción de X1 y X2 depende del número disponible de obreros. Esto puede representarse por la siguiente desigualdad:

La desigualdad (2.2) dice que la cantidad de obreros utilizados en la producción semanal de X1 y X2 no puede exceder de 15. Producir 100 000 litros de cerveza clara y 100 000 litros de cerveza obscura utilizarían 800 obreros, que exceden al límite disponible.

Se supone que producir 1000 litros de cerveza clara le cuestan al dueño de la plana $500.00, mientras que 1000 litros de cerveza obscura le cuestan solamente $200.00. Su capital no le permite gastar más de $1000.00 semanales en al producción de X1 y X2 . Matemáticamente esta restricción puede expresarse así:

Cuyas dimensiones, son pesos. De nuevo la producción de 100000 litros de X1 y X2 significarían un gasto semanal de $ 70000.00 que excede al límite de 1000.

La pregunta a la que el dueño desea una solución es la siguiente: Cuales deben ser los niveles de producción semanal de cerveza clara X1 y de cerveza obscura X2 que maximicen el ingreso por concepto de venta semanal, sin exceder las restricciones de personal y de capital?

Matemáticamente se trata de resolver el siguiente problema, llamado de programación lineal

Maximizar

Z = 5000X1 +3000X2

Sujeto a

3X1 + 5X2 <= 15

500X1 + 200X2 <= 1000

X1 >=0, X2>=0

La última restricción (X1 >= 0, X2 > = 0), se llama condición de no ? negatividad, y evita que los resultados den un absurdo negativo, que en este caso podría significar una producción negativa (destrucción).

En un sistema de coordenadas rectangulares

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