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Sucesión de Fibonacci

Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta

En matemáticas, la sucesión de Fibonacci (a veces mal llamada serie de Fibonacci) es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

La sucesión comienza con los números 0 y 1, y a partir de estos, cada elemento es la suma de los dos anteriores.

A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.

Historia

La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".1

Número de Mes Explicación de la genealogía Parejas de conejos totales

Comienzo del mes 1 Nace una pareja de conejos (pareja A). 1 pareja en total.

Fin del mes 1 La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A. 1+0=1 pareja en total.

Fin del mes 2 La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A. 1+1=2 parejas en total.

Fin del mes 3 La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B. 2+1=3 parejas en total.

Fin del mes 4 Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C. 3+2=5 parejas en total.

Fin del mes 5 A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E. 5+3=8 parejas en total.

Fin del mes 6 A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H. 8+5=13 parejas en total.

... ... ...

Fin del mes 12 ... ...

Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.

De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.2

También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos se acerca a la relación áurea fi ( ) cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen, la banda Tool y Delia Derbyshire la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.

Definición recursiva

Chimenea con la secuencia de Fibonacci

Los números de Fibonacci quedan definidos por la ecuación:

(3)

partiendo de dos primeros valores predeterminados:

se obtienen los siguientes números:

•

•

•

•

•

•

para

Esta manera de definir, de hecho considerada algorítmica, es usual en Matemática discreta.

Representaciones alternativas

Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.

Función generadora

Una función generadora para una sucesión cualquiera es la función , es decir, una serie formal de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora

(4)

Cuando esta función se expande en potencias de , los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:

Fórmula explícita

La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia

con las condiciones iniciales

y

El polinomio característico de esta relación de recurrencia es , y sus raíces son

De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma

Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes y satisfacen la ecuación anterior cuando y , es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene

Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci

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