Funtores Adjuntos

articulos y conceptos basicos

La existencia de muchos pares de funtores adjuntos es una observación importante de la rama de la matemática conocida como teoría de categorías. (La teoría de categorías continúa en cierta forma la visión estructuralista en matemática; ver también estructura algebraica, estructura (teoría de las categorías).). Los funtores adjuntos se pueden considerar desde varios puntos de vista. Este artículo comienza con unas cuantas secciones introductorias que consideran algunos de ellos.

Índice

[ocultar] 1 Motivación 1.1 La ubicuidad de los funtores adjuntos

1.2 Problemas profundos formulados con funtores adjuntos

1.3 Los funtores adjuntos como solución a problemas de optimización

1.4 El caso del orden parcial

2 Definiciones formales

3 Ejemplos

4 Propiedades 4.1 Relación con las construcciones universales

4.2 Unicidad de los adjuntos

4.3 Los adjuntos preservan ciertos límites

4.4 Aditividad

4.5 Composición

4.6 Caracterización vía la unidad y la co-unidad

4.7 Los pares de adjuntos extienden las equivalencias

4.8 Teorema general de existencia

Motivación[editar]

La ubicuidad de los funtores adjuntos[editar]

La idea de funtor adjunto fue formulada por Daniel Kan en 1958. Como ocurre con muchos de los conceptos en teoría de categorías, fue sugerida por las necesidades del álgebra homológica. Aquellos matemáticos preocupados por dar presentaciones ordenadas o sistemáticas del tema, observaron relaciones tales como

Hom (FB, C) = Hom (B, GC)

en la categoría de los grupos abelianos, donde el funtor F era 'toma el producto tensorial con A', y G era el funtor Hom(A,.). Aquí

Hom (X, Y)

significa 'todos los homomorfismos de grupos abelianos'. El uso del signo igual es un abuso de notación; los dos grupos no son realmente idénticos pero hay una manera de identificarlos que es natural. Puede ser visto como natural sobre la base, en primer lugar, de que éstas son dos descripciones alternativas de las funciones bilineales de BxA a C. Esto, no obstante, es algo peculiar del producto tensorial. Lo que la teoría de categorías enseña es que 'natural' es un término técnico bien definido en matemática: equivalencia natural.

La terminología viene del espacio de Hilbert y la idea del operador adjunto de T, U con <Tx, y > = <x, Uy>, que es formalmente similar a la anterior relación Hom. Decimos que F es adjunto izquierdo de G, y G es adjunto derecho de F. Puesto que G puede ser por sí mismo, un adjunto derecho, absolutamente diferente de F (véase abajo para un ejemplo), la analogía colapsa en ese punto. Si uno

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