Guion Electro Aplicado : Control 2

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Sección 3.2 de teoría titulada: Líneas en baja frecuencia: circuitos eléctricos lineales

Voy a hablarles sobre las líneas de baja frecuencia en circuitos eléctricos líneas, primero partiremos introduciendo las bases del análisis de circuito de manera resumidad, estas bases son

• Ley de Ohms
• Nos dice que la intensidad de corriente que atraviesa un circuito es directamente proporcional al voltaje o tensión del mismo e inversamente proporcional a la resistencia que presenta.

• V=IR

• LVK
• indica que la suma de voltajes alrededor de una trayectoria o circuito cerrado debe ser cero

• [pic 1]

• LCK

[pic 2]

Esa es la idea en síntesis,  pero de estas 2 ultimas haremos un análisis mas profundo  

3.2.1 Ecuación de voltaje de Kirchhoff

Sabemos que el Campo Eléctrico tiene 2 ecuaciones que lo describen, la ecuación de Faraday y la ecuación de gauss, pero estos difieren en la naturaleza del campo, pues El primero es solenoidal y el segundo irrotacional.

La ecuación de voltaje de Kirchhoff presupone que el campo eléctrico sea del segundo tipo

Es decir, la divergencia del campo eléctrico sea 0 ∇∧E (r, t) = 0.

en el mundo real esto no es verdad, salvo en el caso estático, por lo que para describir LVK desde el punto de vista del campo eléctrico, utilizaremos la ley de Faraday

[pic 3]

aplicaremos a la malla de un circuito, tomando en cuenta que el voltaje es igual a la integral de linea en el campo.

[pic 4]

Por lo que tendremos esto[pic 5]

[pic 6]

Este término representa la f.e.m. inducida a causa del campo magnético

Este campo es producido por el flujo de corriente, por lo que generalmente es no deseado y se puede modelar como una “inducción parasitaria” cuyo valor depende de la frecuencia de operación del circuito.

Por lo que podemos concluir que solo si la variación de voltaje por unidad de tiempo del generador es suficientemente pequeña, y si el tamaño del circuito es relativamente pequeño, se podrá escribir

• [pic 7]

la ecuación de voltaje de Kirchhoff.

Ecuación de la corriente de Kirchhoff

Esta ecuación para verla desde el punto de vista del curso podemos derivarla a partir de la Ecuacion de Ampère-Maxwell,

[pic 8]

 debido a que, si consideramos que un campo rotacional no

diverge, al tomar la divergencia de la ecuación de Ampère-Maxwell se llegaba a la ecuación de

continuidad de la corriente, aplicando la ley de la conservación de la carga ‚[pic 9]

y escribiendo la corriente de esta forma

[pic 10]

Nos queda[pic 11]

Por lo que podemos notar que si la variación de voltaje por unidad de tiempo del generador es

suficientemente pequeña, y si el tamaño del circuito es relativamente pequeño, se podrá escribir

[pic 12]

Relación de la frecuencia con el tamaño del circuito en la teoría de circuitos

Mediante el análisis que acabamos de realizar podemos concluir entonces que el funcionamiento de las leyes de Kirchhoff y de Ohms, que modelan los circuitos, dependen fuertemente de la frecuencia y el tamaño del circuito, y no de manera independiente, sino están íntimamente relacionados.

Analizando este fenómeno de una manera más intuitiva, se podría decir que la fuente es un generador que da ordenes contrarias, de la forma [pic 13]

Estas ordenes, son información que se debe transmitir en un orden correcto por lo que deben viajan a una velocidad finita constante, pero a lo largo del recorrido es normal que pierden velocidad o tienen un “desfase” por lo que la información que llega al final es distinta a la enviada. Si llamamos al tiempo de que cada orden va por el medio donde se transmite Tiempo de Transito, t_T existen 2 casos limites  

a) Que el tiempo de tránsito sea mucho menor que el período del voltaje del generador t_T,

b) que el tiempo de tránsito sea mucho mayor que el período del voltaje del generador t_T.

Para analizar estos fenómenos, asumamos algunas condiciones

-Digamos que el circuito alcanza su mayor largo dimensión L

-El voltaje sera v(t) = αAcos(ω(t−y/vLT )) = αAcos(ωt−k·y)

-vLT es la velocidad de propagación del voltaje

-vLT ≈ c0/√er donde C0 es la velocidad de la luz en el vacío, er es la permitividad dieléctrica relativa del medio

-y/vLT es el tiempo de tránsito hasta el punto y del circuito

- \alpha modela la partición del voltaje en el punto de conexión del generador con el circuito

-El término y/vLT corresponde al retardo acumulado por el voltaje hasta alcanzar el punto

y del circuito y este  RETARDO SERA MAYOR PARA PUNTOS MAS lejano.

A partir de esto, podemos analizar 2 casos extremos

 Cuando el tiempo de tránsito sea mucho menor que el período del voltaje del generador tT <<T, y y Que el tiempo de tránsito sea mucho mayor que el período del voltaje del generador >>T.[pic 14]

Como la longitud de onda es un período espacial que se establece como consecuencia

de la propagación del voltaje del generador en el circuito podemos intuir que

existe 2 equivalencias en estos casos extremos que so, con D largo del circuito y lambda longitud de onda

1.  << T es equivalente a la condición D >> λ [pic 15]
2. >>T es equivalente a la condición D<<λ[pic 16]

Lo primero podría implicar que se acumularán grandes retardos, o grandes diferencias de fase,

a lo largo del circuito. Podría ocurrir, por ejemplo, para dos puntos distintos del circuito, dígase y1 e y2, conectados simplemente mediante un conductor, lo que comúnmente suele llamarse un “corto circuito”

el segundo caso, no se establece entre los distintos puntos del circuito una diferencia de fase “apreciable”, las órdenes del generador llegan a todos los puntos del circuito prácticamente al mismo tiempo. Ni la corriente ni el voltaje cambian

de polaridad sobre ningún tramo conductor del circuito. En este caso la teoría de circuitos funciona plenamente y lo explicaría todo 

Por lo que es natural que surga una duda ¿cuál es la máxima frecuencia, o equivalentemente, cuál es la mínima longitud de onda, que un circuito “tolera” para comportarse como tal?

O dada la frecuencia de operación ¿cuál es el tamaño máximo del circuito para que las ecuaciones de Kirchhoff predigan con exactitud los voltajes y corrientes en el circuito?

La respuesta que da el apunte a esto es D < λ/20.

Para concluir este tema, podemos sintetizar todo lo visto, en que los circuitos y sus leyes fundamentales, como son la ley de ohms y de Kirchhoff dependen su funcionamiento del tamaño de la linea de transmisión y de la frecuencia de operación.

Sección 3.4.2 de teoría titulada: Acoplamiento en líneas de transmisión y potencia de pérdidas

Primero para entender los siguiente, me gustaría explicar primero que significa que haya acoplamiento en una línea de transmisión, bueno nosotros sabemos que el voltaje sobre una línea de transmisión es una onda, cuando esta llega al final de la línea, depende de lo que haya puede que rebote o no, si no rebota, es decir, si no hay una onda reflejada, significa que la línea esta acoplada. Esto es bueno, debido a que si tuviéramos una onda reflejada, una parte de la energía no se aprovecharía en la carga.

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