Robótica - Localización espacial

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

Facultad de Ingeniería

Escuela Profesional de Ingeniería Mecatrónica

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REPRESENTACIÓN ESPACIAL DE CUERPOS RÍGIDOS II

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LABORATORIO N° 02

AUTORES        :  

                        MOZO CASTILLO, Cristhian Joel

DOCENTE        :

                        ALVA ALCANTARA, Josmell

 CICLO        :

                        IX

TRUJILLO – PERÚ

2018

RESUMEN

En la segunda sesión de laboratorio del curso de Robótica se entendió de una manera más concisa y práctica los distintos temas que involucran la representación espacial de cuerpos rígidos. en este laboratorio se desarrollaron distintos ejercicios de matrices de rotación, ángulos Euler, cuaterniones y matrices de transformación homogénea para entender con mayor claridad su aplicación en la representación espacial de cuerpos rígidos. En la primera parte del laboratorio de crearon funciones para facilitar el cálculo en futuros trabajos. En el desarrollo de este laboratorio en algunos ejercicios se tuvo que contar con la ayuda del software Matlab para facilitar las operaciones matriciales y ahorrar algo de tiempo para el programador. Los ejercicios desarrollados muestran un grado de dificultad básico, con el objetivo de esclarecer algunas posibles dudas que quedaron durante la clase desarrollada.

Palabras Claves: matriz de rotación, cuaternión, angulos de Euler, matriz de transformación homogene

ABSTRACT

In the second lab session of the Robotics course, the different subjects that involve the spatial representation of rigid bodies were understood in a more concise and practical way. In this laboratory, different exercises of rotation matrices, Euler angles, quaternions and homogenous transformation matrices were developed to understand with greater clarity its application in the spatial representation of rigid bodies. In the first part of the laboratory they created functions to facilitate the calculation in future works. In the development of this laboratory in some exercises it had to rely on the help of Matlab software to facilitate matrix operations and save some time for the programmer. The exercises developed show a degree of basic difficulty, with the aim of clarifying some possible doubts that remained during the developed class.

Keywords: rotation matrix, quaternion, Euler angles, homogeneous transformation matrix

CONTENIDO

I.        INTRODUCCIÓN        4

OBJETIVOS        4

II.        METODOLOGÍA        5

MATERIALES UTILIZADOS        5

III.        MARCO TEÓRICO        5

1.        MATRIZ DE ROTACIÓN        5

• 1.1.        EN TRES DIMENSIONES        6
• 1.1.1.        TRANSFORMACIONES BÁSICAS        6

2.        ÁNGULOS DE EULER        7

• 2.1.        DEFINICIÓN        7
• 2.2.        ÁNGULOS RALL, PITCH, YAW        8

3.        CUATERNIONES        8

• 3.1.        DEFINICIÓN        8
• 3.2.        MULTIPLICACIÓN        9
• 3.2.1.PRODUCTO POR UN ESCALAR        9
• 3.2.2.PRODUCTO ENTRE CUATERNIONES        9
• 3.3.        ÁNGULO Y EJE DE ROTACIÓN        11

IV.        DESARROLLO DEL LABORATORIO        12

1.        Ejercicios        12

V.        CONCLUSIONES        26

VI.        RECOMENDACIONES        26

VII.        REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS        27

REPRESENTACIÓN ESPACIAL DE CUERPOS RÍGIDOS II

1. INTRODUCCIÓN

        En el análisis tridimensional de posición de un determinado punto o cuerpo rígido, la dificultad aumenta de una manera considerable a comparación del análisis en dos dimensiones, es por eso que se hace uso de herramientas matemáticas que faciliten su desarrollo y análisis a fin de ahorrar tiempo y capacidad computacional, es por eso que se estudian las matrices de rotación, cuaterniones, ángulos de Euler y matrices de transformación homogénea como potenciales herramientas al momento de analizar la representación espacial de cuerpos rígidos en tres dimensiones, con las que se pueden hacer transformaciones a un sistema de referencia. En este trabajo de laboratorio se desarrollarán distintos ejercicios de las herramientas matemáticas anteriormente mencionados.

OBJETIVOS

• Objetivo General

• Entender los conceptos teóricos y prácticas que involucran a las matrices de rotación, cuateriones, ángulos de Euler y matrices de transformación homogenea.

• Objetivos específicos

• Crear funciones en Matlab para de distintas operaciones con matrices de rotación, cuaterniones, ángulos de Euler y matrices de transformación homogénea.
• Encontrar la equivalencia entre matriz de rotación y los ángulos de euler.
• Encontrar la equivalencia entre una matriz de rotación y los cuaterniones.
• Determinar nuevos vectores de posición teniendo la matriz de transformación homogénea.

1. METODOLOGÍA

MATERIALES UTILIZADOS

• Computadora personal
• Software Matlab

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Figura N° 01: Logo del software utilizado. (The MathWorks, s.f.)

1. MARCO TEÓRICO

1. MATRIZ DE ROTACIÓN

En álgebra lineal, una matriz de rotación es la matriz que representa una rotación en el espacio euclídeo. Por ejemplo, la matriz

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Figura N° 02: ejemplo de matriz de rotación de dos dimensiones.

Representa la rotación de θ grados del plano en sentido anti horario. En tres dimensiones, las matrices de rotación representan las rotaciones de manera concisa y se usan frecuentemente en geometría, física e informática.

Aunque en la mayoría de las aplicaciones se consideran rotaciones en dos o tres dimensiones, las matrices de rotación pueden definirse en espacios de cualquier dimensión. Algebraicamente, una matriz de rotación es una matriz ortogonal de determinante uno:

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Ecuación 1

1. EN TRES DIMENSIONES

1. TRANSFORMACIONES BÁSICAS

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Figura N° 03: transformaciones básicas en tres dimensiones.

Cada una de estas tres rotaciones básicas se realiza en sentido anti horario alrededor del eje y considerando un sistema de coordenadas con la regla de la mano derecha.

1. ÁNGULOS DE EULER

Los ángulos de Euler constituyen un conjunto de tres coordenadas angulares que sirven para especificar la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro sistema de referencia de ejes ortogonales normalmente fijos.

Fueron introducidos por Leonhard Euler en mecánica del sólido rígido para describir la orientación de un sistema de referencia solidario con un sólido rígido en movimiento.

1.  DEFINICIÓN

Dados dos sistemas de coordenadas xyz y XYZ con origen común, es posible especificar la posición de un sistema en términos del otro usando tres ángulos α, β y γ.

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