Actividad sobre vectores
cobra_zApuntes15 de Septiembre de 2015
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Actividad sobre vectores.
Primera parte:
Determina a tal que:
- Sean u = – 2i + 5 j
v= a i – 2 j
- Determina a tal que u y v son ortogonales (o perpendiculares).
= 0 ; (–2i + 5j) (ai – 2 j) = 0[pic 1]
aplicando el producto escalar tenemos que:
–2a – 10 = 0, despejando tenemos que a = – 5
- Determina a tal que u y v son paralelos.
= Cos θ = 1 ; = 1[pic 2][pic 3]
Despejando a tenemos que:
25 a2 – 40 a + 16 = 0, resolviendo encontramos que a1 = a2 = 0.8
- El ángulo entre u y v es 2π / 3.
Sabemos que Cos 2π / 3 = –0.5
Por tanto, ; [pic 4]
Despejando a tenemos que:
3.25 a2 – 40 a – 71 = 0, resolviendo encontramos que a1 = 13.88 y a2 = –1.57
d) El ángulo entre u y v es π / 3.
Sabemos que Cos π / 3 = 0.5
Por tanto, ; [pic 5]
Despejando a tenemos que:
3.25 a2 – 40 a – 71 = 0, resolviendo encontramos que a1 = 13.88 y a2 = –1.57
Tercera parte:
Determinar si los vectores u = (1, –3, 0); v = (3, 0, 4) y w = (11, –6, 12) son linealmente dependientes o independientes.
Para probar lo anterior resolveremos la ecuación de dependencia lineal:
α u + β v + γ w = 0
sustituyendo valores tenemos: α (1, –3, 0) + β (3, 0, 4) + γ (11, –6, 12) = 0
de donde, (α + 3 β + 11 γ, –3 α –6 γ, 4 β + 12 γ) = ( 0, 0, 0)
Igualando términos: α + 3 β + 11 γ = 0
–3 α –6 γ = 0
4 β + 12 γ = 0
Resolviendo el sistema anterior matricialmente:
- 3 11 0 [pic 6][pic 7][pic 8]
– 3 0 –6 0 [pic 9]
0 4 12 0
[pic 10]
1 0 2 0 de donde 0 γ = 0 y por lo tanto γ = a, con a ε R[pic 11][pic 12]
0 1 3 0 β+ 3 = 0 y por lo tanto β = – 3
0 0 0 0 α + 2 γ = 0 y por tanto α = – 2a
Los escalares α, β y γ son diferentes de cero, por tanto el conjunto es linealmente dependiente (es decir, es un conjunto generador).
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