Analisis De Circuitos Con Transformada De Laplace

Introducción:

La transformada de Laplace permite al analista de circuitos convertir un conjunto de ecuaciones diferenciales, que describen un circuito al dominio de la frecuencia compleja, donde se convierten en un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales. Utilizando el manejo algebraico directo, pueden obtenerse las variables de interés. Finalmente, por medio de la transformada inversa, se regresa al dominio del tiempo y se expresa la respuesta deseada en términos del tiempo. Esto es una herramienta poderosa

Definición de la transformada de la place

Es útil transformar las ecuaciones que describen un circuito en dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, realizar el análisis y por último, transformar la solución del problema de nuevo al dominio del tiempo.

Una transformada es el cambio de una variable física en la descripción matemática, para facilitar el cálculo.

La transformada de la Laplace se define como:

Y

Definición de fracciones parciales

Cuando se tiene una función de t, racional con denominador factorizadle, se puede expresar esta función en términos de funciones más elementales para poder encontrar la transformada inversa de Laplace. Para poder llevar esta función a una suma o resta de funciones elementales se hace uso de la técnica conocida como fracciones parciales. Luego, gracias a la propiedad de linealidad de la transformada inversa puede calcularse esta término a término

En muchas ocasiones encontrar la transformada inversa de Laplace puede implicar que tengamos que hacer una serie de trucos algebraicos para que podamos utilizar las fórmulas comunes que conocemos para la transformada de Laplace.

Resistencia

La transformada de Laplace en un circuito meramente resistivo, no tiene efecto sino en las funciones de voltaje y corriente:

V(t)= R i(t)

Y su transformada es:

V(s) = R i(s)

Bobina

Para una inductancia (L) que tiene una corriente inicial de i (0) A en la dirección de la corriente i (t) se transforma en el dominio de s como una impedancia sL en ohmios, en serie con una fuente de voltaje cuyo valor en s es Li (t) y que va en la dirección de la corriente I(s).

V (t) = L(di(t))/dt

I (t) = 1/L ∫_0^t▒〖v (x)dx+i(o) 〗

Las relaciones en el dominio s son entonces:

V (s) = sLi (s) – Li (0)

I (s) = (V(s))/sL+(i(0))/s

Capacitor

Las relaciones en el dominio del tiempo para un capacitor que utiliza la convención pasiva de los signos es:

v (t) = 1/c ∫_0^1▒〖i (x)dx 〗+v (0)

I (t) = c (dv (t))/dt

En las ecuaciones en el dominio s para el condensador son:

v (s) = (I(s))/sC+ (v(0))/s

I (s) = sCv(s) –Cv(0)

Ejemplo circuito RC paralelo

Dada la red siguiente dibújese el circuito equivalente en el dominio S y encuentre el voltaje de salida en los dominios S y del tiempo

Circuito dominio s

e^at= 1/(s +a) 〖3e〗^(-t)= 3/(s + 1 )

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