Aplicación de la Transformada de Laplace para Resolver problemas Asociados a Circuitos Eléctricos y Sistemas Mecánicos

[pic 1]

UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO

Facultad de Ciencias de la Ingeniería

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

TEMA: Aplicación de la Transformada de Laplace para Resolver problemas Asociados a Circuitos Eléctricos y Sistemas Mecánicos.

PROF: ING. LUIS CASTILLO

ASIGNATURA: ECUACIONES DIFENCIALES

Tercer Nivel de Ingeniería en Tic´s

INTEGRANTES DE GRUPO

Guaman Cumbicos Angel Rolando

Iza Iza Olger Bolívar

Tipan Mafla María Janeth

Contenido

1. introducion        3

2. marco teorico        4

2.1 Transformada de Laplace definición.        4

2.2. Demostración de la transformada de Laplace en los distintos escenarios        4

2.3. Demostración de la transformada cuando t ≥ 0 tiene el modelo F(S)        4

2.4Transformada de la integral cuando f(t) es una distribución con una singularidad en 0        4

2.5. Transformada bilateral que se define con el siguiente modelo.        4

2.6. Transformada inversa de Laplace        4

2.7 Transformada de Laplace de la segunda derivada.        4

2.8 Transformada inversa de Laplace de la forma.        5

2.9 Propiedades de la transformada de Laplace        5

3. TRANSFORMADA DE LAPLACE APLICADA A LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS        5

3.1 Definición de circuito eléctrico.        5

3.2. Métodos aplicados conjuntamente con la transformada para resolver problemas de circuitos eléctricos.        5

3.3. Función de Transferencia e Impedancia.        6

4. APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EN LOS SISTEMAS MECANICOS (FUERZA, MASA, Y RESORTES).        6

4.1.  Definición de sistemas mecánicos.        6

4.2 Ejemplos matemáticos que nos ayudan a la aplicación de la transformada de la Laplace en sistemas mecánicos.        7

4.3 Transformada de Laplace de un sistema Masa-Resorte-Amortiguador.        7

4.4 Función de Transferencia para un sistema Masa-Resorte-Amortiguador.        7

5. planteamiento del problema.        8

6. calculos realizados        9

6.1 Ejercicio de aplicación de la transformada de Laplace en circuitos eléctricos RLC        9

6.2 Ejercicio de Aplicación de la transformada de Laplace en circuitos eléctricos.        10

6.3 Ejercicio de Aplicación de la transformada de Laplace en sistemas mecánicos.        12

6.4 Ejercicio de aplicación de la transformada en sistemas-masa-resorte vertical.        13

7. conclusiones/ recomendaciones        14

8. BIBLIOGRAFÍA.        15

1. introducion

Desde tiempos antiguos las matemáticas se han utilizado como una herramienta para resolver una infinidad de problemas donde se puedan aplicar los números, para obtener respuestas exactas o aproximadas, con el surgimiento de nuevos métodos y teoremas matemáticos, esta ciencia ha tenido una ampliación muy extensa respecto a sus aplicaciones, con lo cual estudiar a fondo cada nueva rama ha sido bastante infructuosa, al menos para las nuevas generaciones, el uso de la tecnología le has permitido dejar de lado el propio razonamiento y aplicación de las distintitas herramienta que de forma manual y con nuestro propio análisis nos permitían realizar cálculos extensos.

Como estudiantes de tercer nivel de ingeniería en Tic´s de la “Universidad Estatal de Milagro”, hemos visto que desde nuestros inicios en las materias relacionadas a las matemáticas se nos ha hecho énfasis, en el correcto razonamiento y análisis de cualquier problema donde se implementen modelos matemáticos, esto con el objetivo de encontrar una solución funcional, que cumpla con los parámetros establecidos dentro de problema, garantizando una respuesta correcta.

La implementación de la ecuaciones diferenciales para dar una respuesta más exacta, a los diferentes problemas que surgen dentro de la vida cotidiana ha dado como resultado que día a día surjan problemas tan complejos que los diferentes métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales no den abasto para resolverlas, sin embargo algunas de los matemáticos más sobresalientes,  han logrado relacionar técnicas unen las ecuaciones diferenciales con artificios algebraicos u otras técnicas como las transformada de Laplace que logra simplicar un problema complejo a un problema algebraico.

Según un nuevo estudio... (La Transformada de Laplace, 2021), es sin duda una de las técnicas matemáticas más utilizadas conjuntamente con las ecuaciones diferenciales, para aproximar los cálculos de cualquier problema a una respuesta más exacta, y, en este trabajo queremos plasmar como la transformada nos ayuda a resolver las ecuaciones diferenciales resultantes del análisis de problemas de aplicación de circuitos eléctricos (resistencia, capacitores, resistor e inductor) y Sistema Mecánico (fuerza, masa, resorte). (Dorf, 2021)

2. marco teorico

 2.1 Transformada de Laplace definición.

La transformada de Laplace es una técnica usada de manera independiente o en conjunto con otras operaciones relacionadas al cálculo de una variable, se la define como una función dentro del campo vectorial de orden exponencial lo que significa que una función a trozos existe, esta transformada se la representa por medio de una integral impropia, y cambian una función dada de una variable de entrada en otra función en otra variable. Es muy utilizada para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden y de coeficientes constantes, algo importante y necesario para que una ecuación diferencial pueda ser resuelta por la transformada de Laplace es conocer las condiciones iniciales de la misma ecuación diferencial, además se puede implementar para reemplazar operaciones como derivación e integración por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S. (ecured., 2011)

2.2. Demostración de la transformada de Laplace en los distintos escenarios

 2.3. Demostración de la transformada cuando t ≥ 0 tiene el modelo F(S)

Esta transformada se aplica para todos los números positivos desde t ≥ o

[pic 2]

 2.4Transformada de la integral cuando f(t) es una distribución con una singularidad en 0

[pic 3]

 2.5. Transformada bilateral que se define con el siguiente modelo.

[pic 4]

2.6. Transformada inversa de Laplace

[pic 5]

2.7 Transformada de Laplace de la segunda derivada.

[pic 6]

2.8 Transformada inversa de Laplace de la forma.

[pic 7]

2.9 Propiedades de la transformada de Laplace

3. TRANSFORMADA DE LAPLACE APLICADA A LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS

3.1 Definición de circuito eléctrico.

Son componentes eléctricos formadas por múltiples conexiones entre objetos, cuyo funcionamiento característico ya está definido, es decir su comportamiento al recibir cualquier estímulo de naturaleza electromagnética. Cuyos objetos característicos son los siguientes: Resistencia (R), Capacitancia (C), y la Inductancia (L)

3.2. Métodos aplicados conjuntamente con la transformada para resolver problemas de circuitos eléctricos.

Como se ha expuesto anteriormente para aplicar la transformada de Laplace en cálculos complejos, es necesario relacionar las leyes básicas que rigen la dinámica de los circuitos eléctricos, tales como la ley de voltajes de kirchoff, leyes de corrientes de ohm y en sí mismo con las ecuaciones diferenciales resultantes del análisis realizado. Aunque de manera explícita la ecuación diferencial que se obtiene, sabiendo que las diferencias de potencial a través de cualquier elemento básico de un circuito eléctrico esta dado por el siguiente modelo:

...