Arboles B

Árbol-B

Definición

La idea tras los árboles-B es que los nodos internos deben tener un número variable de nodos hijo dentro de un rango predefinido. Cuando se inserta o se elimina un dato de la estructura, la cantidad de nodos hijo varía dentro de un nodo. Para que siga manteniéndose el número de nodos dentro del rango predefinido, los nodos internos se juntan o se parten. Dado que se permite un rango variable de nodos hijo, los árboles-B no necesitan rebalancearse tan frecuentemente como los árboles binarios de búsqueda auto-balanceables. Pero, por otro lado, pueden desperdiciar memoria, porque los nodos no permanecen totalmente ocupados. Los límites (uno superior y otro inferior) en el número de nodos hijo son definidos para cada implementación en particular. Por ejemplo, en un árbol-B 2-3 (A menudo simplemente llamado árbol 2-3 ), nodo sólo puede tener 2 ó 3 nodos hijo.

Un árbol-B se mantiene balanceado porque requiere que todos los nodos hoja se encuentren a la misma altura.

Los árboles B tienen ventajas sustanciales sobre otras implementaciones cuando el tiempo de acceso a los nodos excede al tiempo de acceso entre nodos. Este caso se da usualmente cuando los nodos se encuentran en dispositivos de almacenamiento secundario como los discos rígidos. Al maximizar el número de nodos hijo de cada nodo interno, la altura del árbol decrece, las operaciones para balancearlo se reducen, y aumenta la eficiencia. Usualmente este valor se coloca de forma tal que cada nodo ocupe un bloque de disco, o un tamaño análogo en el dispositivo. Mientras que los árboles B 2-3 pueden ser útiles en la memoria principal, y además más fáciles de explicar, si el tamaño de los nodos se ajustan para caber en un bloque de disco, el resultado puede ser un árbol B 129-513.

Los creadores del árbol B, Rudolf Bayer y Ed McCreight, no han explicado el significado de la letra B de su nombre. Se cree que la B es de balanceado, dado que todos los nodos hoja se mantienen al mismo nivel en el árbol. La B también puede referirse a Bayer, o a Boeing, porque sus creadores trabajaban en los Boeing Scientific Research Labs por ese entonces.

Definición técnica

B-árbol es un árbol de búsqueda que puede estar vacío o aquel cuyos nodos pueden tener varios hijos, existiendo una relación de orden entre ellos, tal como muestra el dibujo.

Un árbol-B de orden M (el máximo número de hijos que puede tener cada nodo) es un árbol que satisface las siguientes propiedades:

1. Cada nodo tiene como máximo M hijos.

2. Cada nodo (excepto raíz) tiene como mínimo (M-1)/2 claves.

3. La raíz tiene al menos 2 hijos si no es un nodo hoja. (según M)

4. Todos los nodos hoja aparecen al mismo nivel.

5. Un nodo no hoja con k hijos contiene k-1 elementos almacenados.

6. Los hijos que cuelgan de la raíz (r1, •••, rm) tienen que cumplir ciertas condiciones:

1. El primero tiene valor menor que r1.

2. El segundo tiene valor mayor que r1 y menor que r2, etc.

3. El último hijo tiene valor mayor que rm.

Altura: El mejor y el peor caso

En el mejor de los casos,la altura de un árbol-B es:

En el peor de los casos,la altura de un árbol-B es:

Donde M es el número máximo de hijos que puede tener un nodo.

Estructura de los nodos

Cada elemento de un nodo interno actúa como un valor separador, que lo divide en subárboles. Por ejemplo, si un nodo interno tiene tres nodos hijo, debe tener dos valores separadores o elementos a1 y a2. Todos los valores del subárbol izquierdo deben ser menores a a1, todos los valores del subárbol del centro deben estar entre a1 y a2, y todos los valores del subárbol derecho deben ser mayores a a2.

Los nodos internos de un árbol B, es decir los nodos que no son hoja, usualmente se representan como un conjunto ordenado de elementos y punteros a los hijos. Cada nodo interno contiene un máximo de U hijos y, con excepción del nodo raíz, un mínimo de L hijos. Para todos los nodos internos exceptuando la raíz, el número de elementos es uno menos que el número de punteros a nodos. El número de elementos se encuentra entre L-1 y U-1. El número U debe ser 2L o 2L-1, es decir, cada nodo interno está por lo menos a medio llenar. Esta relación entre U y L implica que dos nodos que están a medio llenar pueden juntarse para formar un nodo legal, y un nodo lleno puede dividirse en dos nodos legales (si es que hay lugar para subir un elemento al nodo padre). Estas propiedades hacen posible que el árbol B se ajuste para preservar sus propiedades ante la inserción y eliminación de elementos.

Los nodos hoja tienen la misma restricción sobre el número de elementos, pero no tienen hijos, y por tanto carecen de punteros.

El nodo raíz tiene límite superior de número de hijos, pero no tiene límite inferior. Por ejemplo, si hubiera menos de L-1 elementos en todo el árbol, la raíz sería el único nodo del árbol, y no tendría hijos.

Un árbol B de altura n+1 puede contener U veces por elementos más que un árbol B de profundidad n, pero el costo en la búsqueda, inserción y eliminación crece con la altura del árbol. Como todo árbol balanceado, el crecimiento del costo es más lento que el del número de elementos.

Algunos árboles balanceados guardan valores sólo en los nodos hoja, y por lo tanto sus nodos internos y nodos hoja son de diferente tipo. Los árboles B guardan valores en cada nodo, y pueden utilizar la misma estructura para todos los nodos. Sin embargo, como los nodos hoja no tienen hijos, una estructura especial para éstos mejora el funcionamiento.

Class nodo árbol B en c++

#define TAMANO 1000

struct stclave {

int valor;

long registro;

};

class bnodo {

...