Diseño Mecanico

CINEMATICA DE LA VIBRACION

Definiciones. Una vibración es, en un sentido más general, un movimiento periódico, es decir, un movimiento que se repite con todas sus características después de un cierto intervalo de tiempo llamado periodo de la vibración, designado generalmente por el símbolo T. Una gráfica de desplazamiento x contra el tiempo, puede resultar una curva sumamente complicada. Como un ejemplo, la Fig. 1.1.a muestra la curva del movimiento observado en el pedestal de las chumaceras de una turbina de vapor.

El tipo más sencillo de movimiento periódico es el movimiento armónico; en él, la relación entre x y t puede expresarse por

Como se muestra en la Fig. 1.1.b, que representa las pequeñas oscilaciones de un péndulo simple. El valor máximo del desplazamiento es llamado amplitud de la vibración.

El periodo T generalmente se mide en segundos, y su reciproco es la frecuencia de la vibración, medida en ciclos por segundo. En algunas publicaciones esto suele abreviarse por cips, pronunciándose tal como está escrito.

En la Ec, (1.1) aparece el símbolo conocido como frecuencia circular y medido en radianes por segundo. Este más bien desafortunado nombre, se ha hecho familiar debido a las propiedades de la representación vectorial. Las relaciones entre f y T son las siguientes. En la Ec (1.1) y la Fig. 1.1.b, puede verse claramente en un ciclo completo de la vibración tiene lugar cuando ha pasado a través de 360° o sea 2π radianes. Entonces sus valores previos, estarán resumidos en la función seno. Así, cuando el intervalo de tiempo t será igual al periodo T, o sea.

Puesto que f es el reciproco de T.

En las maquinas rotativas, la frecuencia suele expresarse en vibraciones por minuto, designado por .

En un movimiento armónico en el cual el desplazamiento este dado por la velocidad se encuentra, obteniendo la derivada con respecto al tiempo.

De tal suerte que la velocidad resulta también: armónica con un valor máximo.

La aceleración será

También armónica con valor máximo .

Consideremos dos vibraciones dadas por las expresiones x= a sen wt y x2= b sen (wt + v), que se muestran en la Fig. 1.2, graficadas contra wt como abscisa. Debido a la presencia de la magnitud v, las dos vibraciones no lograran su desplazamiento en el mismo instante, ya que una de ellas estará y /w seg detrás de la otra. La magnitud v, se conoce como el ángulo de fase o diferencia de fase entre las dos vibraciones. Puede verse que los dos movimientos tienen la misma w y, como consecuencia, igual frecuencia f. El ángulo de fase tiene significado solamente tratándose de dos movimientos con la misma frecuencia, pues si las frecuencias son diferentes el ángulo de fase no tiene sentido alguno.

EJEMPLO: Un cuerpo suspendido de un resorte vibra verticalmente hacia arriba y hacia abajo entre dos posiciones espaciadas sobre el suelo. Durante cada segundo alcanza la posición tope (1 ½ cm sobre el suelo): 20 veces consecutivas. ¿Cuánto valdrán ?

Solución:

1.1 Grados de libertad.

El número de grados de libertad en ingeniería se refiere al número mínimo de parámetros que necesitamos especificar para determinar completamente la velocidad de un mecanismo o el número de reacciones de una estructura.

Grados de libertad en mecanismos

Un cuerpo aislado puede desplazarse libremente en un movimiento que se puede descomponer en 3 rotaciones y 3 traslaciones geométricas independientes (traslaciones y rotaciones respecto de ejes fijos en las 3 direcciones de una base referida a nuestro espacio de tres dimensiones).

Para un cuerpo unido mecánicamente a otros cuerpos (mediante pares cinemáticos), algunos de estos movimientos elementales desaparecen. Se conocen como grados de libertad los movimientos independientes que permanecen.

Definición

Más concretamente, los grados de libertad son el número mínimo de velocidades generalizadas independientes necesarias para definir el estado cinemático de un mecanismo o sistema mecánico. El número de grados de libertad coincide con el número de ecuaciones necesarias para describir el movimiento. En caso de ser un sistema holónomo, coinciden los grados de libertad con las coordenadas independientes.

Grados de libertad en mecanismos planos

Para un mecanismo plano cuyo movimiento tiene lugar sólo en dos dimensiones, el número de grados de libertad del mismo se pueden calcular mediante el criterio de Grübler-Kutzbach:

Donde:

, movilidad.

, número de elementos (eslabones, barras, piezas, etc.) de un mecanismo.

, número de uniones de 1 grado de libertad.

, número de uniones de 2 grados de libertad.

Importante: esta fórmula es válida sólo en el caso de que no existan enlaces redundantes, es decir enlaces que aparecen físicamente en el mecanismo pero no son necesarios para el movimiento de éste. Para poder emplear el criterio, debemos eliminar los enlaces redundantes y calcular entonces los grados de libertad del mecanismo.

Todas las partes fijas (uniones al suelo) se engloban como el primer elemento. Aunque el grado de libertad de algunas uniones es fácil de visualizar, en otras ocasiones se pueden cambiar por sistemas equivalentes.

Grados de libertad en estructuras

Podemos extender la definición de grados de libertad a sistemas mecánicos que no tienen capacidad de moverse, llamados estructuras fijas. En el caso particular de estructuras de barras en d dimensiones, sin es el número de barras y existen m restricciones (uniones entre barras o apoyos) que eliminan cada una ri grados de libertad de movimiento; definimos el número de grados de libertad aparentes como:

GL: Grados de libertad del mecanismo.

n: Número de elementos de barras de la estructura.

ri: Número de grados de libertad eliminados por la restricción .

1.2 Movimiento armónico y su representación.

Movimiento armónico simple

En la Fig. 2.1, se ilustra un ejemplo de lo que podríamos llamar la vibración más simple y ordenada posible. En ella se representa un movimiento de oscilación constante y regular a lo largo del tiempo, con una duración de 4 segundos. Podemos observar como esta vibración se caracteriza por la repetición exacta de un mismo movimiento (ciclo).

Dos parámetros son suficientes para caracterizar esta vibración. En primer lugar, el parámetro A determina la altura de la vibración y recibe el nombre de amplitud de onda. En segundo lugar, el parámetro T, determina la duración de un ciclo de la vibración y recibe el nombre de período. El período se define como el tiempo que tarda la vibración en repetirse (1 ciclo). En la figura, la vibración se repite 4 veces en los 4 segundos, por lo tanto, T = 4/4 seg = 1 seg. Por consiguiente, haciendo más pequeño el valor T, hacemos que la vibración se repita más veces en un mismo tiempo (sea más rápida) y viceversa.

Junto con estos dos parámetros, existe una función matemática que permite dar cuenta de cada uno de los valores que va adoptando la vibración a lo largo del tiempo. Dos funciones trigonométricas son aptas para ello: la función coseno (cos) y la función seno (sin). En nuestro ejemplo hemos utilizado la función coseno, de modo que la función matemática que caracteriza completamente la vibración de la figura es

Con esta función, sólo necesitamos preestablecer los valores de A (amplitud) y T (período) para poder obtener el valor de la coordenada para cualquier tiempo t, de la vibración mostrada en la figura.

Toda vibración que pueda describirse con una sola función coseno (o seno) como la anterior, recibe el nombre de vibración armónica simple. Un ejemplo aproximado de vibración armónica simple es el sonido de las notas de la escala musical o el tic-tac de un reloj.

En el tratamiento de vibraciones se sustituye a menudo el concepto de período por el concepto de frecuencia para describir la rapidez con la que una vibración se repite. Puesto que, como hemos visto, la rapidez de vibración es inversamente proporcional a la duración del período, se define el concepto de frecuencia f como el inverso del período, es decir, . De este modo, la frecuencia es un indicador directo de la velocidad de la vibración, y por lo tanto, es más intuitivo. Sus unidades son las de ciclos por unidad de tiempo, y en nuestro ejemplo, será f = 1 ciclos/seg. Cuando la unidad de tiempo es el segundo, la unidad de frecuencia se llama Hertz y se abrevia Hz (f = 1 Hz).

Conviene no confundir, en este contexto, el concepto estadístico de frecuencia con el que utilizaremos aquí. En estadística, la frecuencia describe el número de ocasiones en que un evento se produce. La frecuencia relativa nos informa de la proporción de ocurrencias de un suceso con respecto al número total de sucesos considerados. En la teoría ondulatoria, la frecuencia describe el número de ciclos (eventos) que se producen a lo largo de la unidad de tiempo que utilicemos. Por consiguiente es una medida relativa a la unidad de medida temporal. De la misma forma que en estadística utilizamos como unidad relativa de frecuencia el %, en la teoría ondulatoria se utiliza el Hz, si la unidad de tiempo elegida es el segundo.

En todo caso, téngase en cuenta que, a partir de ahora, siempre que utilicemos el término 'frecuencia', lo haremos refiriéndonos a su significación en la teoría ondulatoria y no en el de la teoría de la probabilidad y estadística.

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