Ecuaciones del movimiento de un cuerpo rígido

Ecuaciones del movimiento de un cuerpo rígido.

Consideremos un cuerpo rígido sobre el cual actúan las fuerzas externas F_(1 ),F_2,F_3. etc, Suponemos que el. Cuerpo está formado de un gran numero n de partículas de masa (∆m_1 (i=1,2,…,n)y aplicaremos los resultados obtenidos a un sistema de partículas. Consideremos

Primero el movimiento del centro de masa G del cuerpo con respecto al sistema newtoniano de referencia Oxyz. Recordamos la ecuación escribimos

∑▒〖F=ma ̅ 〗

Donde m es la masa del cuerpo y a es la aceleración del centro de masa G. Considerando ahora el movimiento del cuerpo con respecto al sistema centroidal de referencia G x 'y´z’. Recordamos la ecuación y escribimos

∑▒〖M_G=H ̇_G 〗

Donde H ̇_Grepresenta la tasa de cambio de HG. El momentum angular con respecto a G del sistema de partículas que forma el cuerpo rígido. En adelante simplemente nos referiremos a HG como el momentum angular del cuerpo rígido con respecto a su centro de masa G. Ambas ecuaciones, expresan que el sistema de las fuerzas externas es equipolente al sistema formado por el vector ma aplicado en G y el par de momento( H) ̇_G

Las ecuaciones se aplican en el caso más general del movimiento de un cuerpo rígido. En este capítulo limitaremos nuestro analisis al movimiento en el plano de cuerpos rígidos, es decir al movimiento en el cual cada partícula del cuerpo permanece a una distancia constante con respecto a un plano de referencia fijo, y supondremos que los cuerpos rígidos considerados están formados por laminas planas y cuerpos que son simétricos con respecto al plano de referencia.

Momentum angular de un cuerpo rígido que se mueve en un plano.

Consideremos una lámina rígida que se mueve en un plano. Suponiendo que la lamina está constituida de un gran numero n de partículas P_ide masa 〖∆m〗_i y recordando la ecuación (4.24). Observamos que el momentum angular HG de la lamina con respecto a su centro de masa G puede calcularse tomando los momentos con respecto a G de las cantidades de movimiento de las partículas de la lamina en movimiento con respecto a cualquiera de los sistemas Oxyz o Gx'y'. Escogiendo el Ultimo sistema, escribimos

H_G=∑_(i=1)^n▒〖r´〗_i ×〖v´〗_i 〖∆m〗_i

Donde 〖r´〗_i y 〖v´〗_i 〖∆m〗_i representan, respectivamente, el vector de posición y el momentum lineal de la partícula Pi relativos al sistema centroidal de referencia Gx'y' (figura 6.4). Puesto que la partícula esta sobre la lamina, tenemos 〖v´〗_i=ω〖×r´〗_i, donde ω es la velocidad angular de la lámina en el instante considerado. Entonces

H_G=∑_(i=1)^n▒〖r´〗_i ×(ω〖×r´〗_i)〖∆m〗_i

Refiriéndonos a la figura 6.4 verificamos fácilmente que la expresión obtenida representa un vector de la misma dirección de ω (decir, perpendicular a la lamina) y de magnitud igual a ω∑▒〖〖r´〗_(i^2 ) 〖∆m〗_i 〗. Recordando que la sumatoria ∑▒〖〖r´〗_(i^2 ) 〖∆m〗_i 〗 representa el momento de inercia I de la lámina con respecto al eje centroidal perpendicular a la lámina, concluimos que el momentum angular H_G de la lámina con respecto a su centro de masa es

H_G=I ̅ω

Derivando ambos miembros de la ecuación obtenemos

H_G=I ̅ω ̇=I ̅α

Por tanto la tasa de cambio del momentum angular de la lamina se representa mediante un vector de la misma dirección de α (esto es, perpendicular a la lamina) y de magnitud Iα.

Debe recordarse que los resultados obtenidos en esta sección se han deducido para una lámina rígida que se mueve en un plano. Como veremos en el capítulo 8, estos serán resultados validos en el caso de movimiento en un plano de cuerpos rígidos que sean simétricos con respecto al plano de referencia. * Sin embargo, no se aplican al caso de cuerpos asimétricos 0 en el caso de movimiento "tridimensional”.

Movimiento de un cuerpo rígido en el plano. Principio de D' Alembert.

Consideremos una lamina rígida de masa m que se mueve bajo la acción de las fuerzas externasF_(1 ),F_2,F_3 etc. , contenidas en el mismo plano de la lamina (figura 6.5). SustituyendoH ̇_G de la ecuación y escribiendo las ecuaciones fundamentales del movimiento en forma escalar, tenemos

∑▒〖F_x=ma ̅_x ∑▒〖F_y=ma ̅_y 〗〗 ∑▒〖M_G=i ̅a〗

Las ecuaciones demuestran que la aceleración del centro de masa G de la lamina y su aceleración angular a pueden obtenerse fácilmente una vez que se ha calculado la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre la lamina y su momento resultante con respecto a G. Conocidas las condiciones iniciales, se pueden obtener mediante integración las coordenadas x y y del centro de masa y la coordenada angular θ de la lamina. Por tanto, el movimiento de La lamina se define completamente mediante la resultante y el momento resultante con respecto a G de las fuerzas externas que actúan sobre ella.

Como el movimiento de un cuerpo rígido depende solo de la resultante y del momento resultante de las fuerzas externas que acnian sobre él. Se deduce que dos sistemas de fuerzas que son equipolentes, es decir que tienen la misma resultante y el mismo momento resultante, también son equivalentes; es decir, tienen exactamente el mismo efecto sobre un cuerpo rígido determinado. *

Consideremos, en particular, el sistema de las fuerzas externas que acnian sobre un cuerpo rígido del sistema de fuerzas efectivas asociado con las partículas que forman el cuerpo rígido. Se demostró que los dos sistemas definidos de esta manera con equipolentes. Pero como las partículas consideradas ahora forman un cuerpo rígido, se deduce de lo anterior que los dos sistemas también son equivalentes.

Entonces podemos establecer que las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido son equivalentes a las fuerzas efectivas de las distintas partículas que forman el cuerpo.

Este enunciado se denomina principio de D'Alembert, debido a su autor, el matemático francés Jean le Rond d'Alembert (1717- 1783), aunque originalmente este enunciado fue establecido en forma diferente.

Traslación.- cuando un cuerpo rígido esta constreñido a moverse en traslación, su aceleración angular es igual a cero Y sus fuerzas efectivas se reducen al vector ma ̅ aplicado en G (figura 6.8). Por tanto, la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido en traslación pasa por el centro de masa del Cuerpo y es igual a ma ̅ Rotación centroidal.- Cuando una lamina 0, en general, un cuerpo simétrico con respecto a un plano de referencia, esta constreñido a rotar alrededor de un eje fijo perpendicular al plano de referencia que pasa por su centro de masa G, se dice que el cuerpo está en rotación centroidal. Como la aceleración a ̅ es igual a cero, las fuerzas efectivas del cuerpo se reducen al par I ̅α (figura 6.9). Por tanto, las fuerzas externas que acnian sobre un cuerpo en rotación centroidal son equivalentes a un par de momento I ̅α.

Movimiento general en un plano. Comparando la figura 6.7 con las figuras 6.8 y 6.9 observamos que, desde el punto de vista de la cintica, el movimiento mas general en un plano de un cuerpo rígido simétrico con respecto a un plano de referencia puede reemplazarse por la suma de una traslación y una rotación centroidal.

Debemos notar que este enunciado es más restrictivo que el enunciado similar presentado anteriormente desde el punto de vista de la cinemática.

Una observación sobre los axiomas de la mecánica de cuerpos rígidos.

EI hecho de que dos sistemas equipolentes de fuerzas externas que acnian sobre un cuerpo rígido sean también equivalentes, esto es, tengan el mismo efecto sobre el cuerpo

rigido, lo establecimos en la sección anterior. Pero este se Dedujo a partir del principio de transmisibilidad, uno de los axiomas empleados en nuestro estudio de la estática de cuerpos rígidos. Debe observarse que este axioma no se ha usado en este capítulo debido a que la segunda y tercera leyes del movimiento de Newton lo hacen innecesario en el estudio de la dinámica de los cuerpos rígidos.

En efecto, el principio de transmisibilidad puede deducirse ahora de otro axioma aplicado en el estudio de la mecánica. Este principio, que se enuncia, consiste en que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecen invariables si la fuerza F que actúa sobre un punto dado de un cuerpo rígido se reemplaza por la fuerza F' de la misma magnitud y dirección actuando en otro punto siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma línea de acción. Puesto que F y F' tienen el mismo momento con respecto a un punto dado, es evidente que estas forman dos sistemas equipolentes de fuerzas externas. Por tanto, podemos ahora demostrar como resultado de lo que establecimos en la sección anterior, que F y F' tienen el mismo efecto sobre el cuerpo rígido.

Por consiguiente, el principio de transmisibilidad puede omitirse de la lista de los axiomas requeridos para el estudio de la mecánica de los cuerpos rígidos. Estos axiomas se reducen, entonces, a la ley de suma de vectores del paralelogramo y a las leyes del movimiento de Newton

Solución de problemas que involucran el movimiento de un cuerpo rígido.

Vimos en la sección 6.4 que cuando un cuerpo rígido se mueve en un plano existe una relación fundamental entre las fuerzas F_(1 ),F_2,F_3 etc., que actúan sobre el cuerpo, la

Aceleracion

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