Ecuacion De Movimiento

Ecuación del movimiento[editar]

Péndulo simple. Esquema de fuerzas..

Método de Newton[editar]

Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, \ell, del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico.

Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del movimiento de la partícula.

La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:

F_\text{t} = -mg\sin{\theta} = ma_\text{t} \,

siendo at, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora).

Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner

a_\text{t}= \ell\ddot\theta \,

siendo \ddot\theta \, la aceleración angular, de modo que la ec. dif. del movimiento es:

-mg\sin\theta = m\ell\ddot\theta \qquad\Rightarrow\qquad \ell\ddot\theta + g\sin\theta = 0 \,

Esta ec. dif. no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general.

Método de Lagrange[editar]

El lagrangiano del sistema es

\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 + mgl\cos{\theta}

donde \theta\, es la elongación angular (ángulo que forma el hilo con la vertical) y l\, es la longitud del hilo. Aplicando las ecuaciones de Lagrange se sigue

\frac{d}{dt}\frac{\part\mathcal L}{\part\dot\theta} - \frac{\part\mathcal L}{\part\theta}=0

\qquad\Rightarrow\qquad

ml^2\ddot\theta + mgl\sin\theta = 0

y obtenemos la ecuación del movimiento es

l\ddot{\theta} + g\sin{\theta} = 0

de modo que la masa no interviene en el movimiento de un péndulo.

Pequeñas oscilaciones[editar]

Péndulo simple en movimiento armónico simple con oscilaciones pequeñas.

Para pequeñas oscilaciones, la función que representa la elongación angular con el tiempo, \scriptstyle\theta(t), es casi sinusoidal; para mayores amplitudes la oscilación ya no es sinusoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitud \scriptstyle 0,999\pi\ \text{rad}\ \approx\ 180^0 (negro), junto a un movimiento de pequeña amplitud \scriptstyle 0,25\pi\ \text{rad} \ =\ 45^0 (gris).

Si consideramos tan sólo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el ángulo θ sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del senθ será muy próximo al valor de θ expresado en radianes (senθ ≈ θ, para θ suficientemente pequeño), como podemos apreciar en la Tabla I, y la ec. dif. del movimiento se reduce a

\ell\ddot\theta + g\theta = 0 \,

que es idéntica a la ec. dif. correspondiente al m.a.s., refiriéndose ahora al movimiento angular en lugar de al movimiento rectilíneo, cuya solución es:

\theta = \Theta\sin(\omega t + \phi) \,

siendo ω la frecuencia angular de las oscilaciones, a partir de la cual determinamos el período de las mismas:

\omega = \sqrt{g \over l} \qquad\Rightarrow\qquad T = 2\pi\sqrt{\ell \over g}\,

Las magnitudes \Theta \, y \phi\, son dos constantes "arbitrarias" (determinadas por las condiciones iniciales) correspondientes a la amplitud angular y a la fase inicial del movimiento. Ambas tienen dimensiones de ángulo plano.

Comparación entre el valor de un ángulo (rad) y su seno.

Θ(º) Θ(rad) senΘ dif. % Θ(º) Θ(rad) senΘ dif. %

0 0,00000 0,00000 0,00 15 0,26180 0,25882 1,15

2 0,03491 0,03490 0,02 20 0,34907 0,34202 2,06

5 0,08727 0,08716 0,13 25 0,43633 0,42262 3,25

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