El método de Exhausción

El método de Exhausción nace del problema de comparar las figuras curvilíneas y las rectilíneas. Como usted sabe, uno de los grandes problemas de la Antigüedad era cómo reducir el círculo, o longitudes curvas, a segmentos de recta, y otro: cómo reducir cualquier línea curva a líneas rectas y círculos (esto se traduce como la construcción de figuras curvas usando solo regla y compás). No obstante, el "método de Exhausción'' no fue llamado así por los griegos, sería mucho tiempo después que Gregoire de St. Vincent (1 589 - 1 667) lo bautizaría de esa manera.

En ese escenario fueron usados dos principios generales sobre los números y sus relaciones con el infinito, que aparecieron de diferente forma, y fueron relevantes para la utilización del método que analizamos.

Primer principio:

"Cualquier cantidad, por más pequeña que sea, puede hacerse tan grande como se quiera multiplicándola por un número suficientemente grande''.

Este se puede formular de la siguiente manera:

"Dadas dos magnitudes diferentes $\alpha $ y $\beta $ (con $\beta <\alpha $ ) existe entonces:

a) un número $n$ tal que $n\beta >\alpha $ (esto se encuentra en el Libro V de los Elementos de Euclides, Def. 4);

b) un número $n$ tal que MATH donde $\gamma $ es cualquier magnitud de la misma clase (esto se llama el Axioma de Arquímedes, en el trabajo Sobre la esfera y el cilindro de Arquímedes Libro I)''.

Segundo principio:

"Si de cualquier magnitud sustraemos una parte no menor que su mitad, y si del resto sustraemos de nuevo una cantidad no menor que su mitad, y si continuamos repitiendo este proceso de sustracción, terminaremos por obtener como resto una magnitud menor que cualquier magnitud del mismo tipo dada de antemano''.

Lo anterior se puede poner también así:

"Dadas dos magnitudes diferentes $\alpha $ y $\beta $ (con $\beta <\alpha $, existe un número $n$ tal que MATH, donde $p\geq \frac{1}{2}$

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