Modelo matemático de un circuito con amplificador operacional
Enviado por Maria Angelica Durango Vargas • 9 de Abril de 2021 • Documentos de Investigación • 1.725 Palabras (7 Páginas) • 207 Visitas
Modelo matemático de un circuito con amplificador operacional
María Angelica Durango Vargas
Facultad de ingeniería mecatrónica
Escuela Tecnológica instituto técnico central
Bogotá D.C, Colombia
madurangov@itc.edu.co
Abstract— This document will be developed step by step and will explain the mathematical model of the chosen system. As a student of the system dynamics class, all the concepts that were obtained in each session will be applied and that were complemented with the investigation in the different suggested bibliographies. In the first part, an introduction will be made, following with the modeling, the analysis of the system, the conclusions and finally the references used to solve the exercises.
- OBJETIVOS
- Evidenciar la aplicación de sistemas dinámicos en el contexto de los estudiantes.
- Modelar y caracterizar sistemas en tiempo continuo
- Validar el modelo del sistema por medio de simulación.
- INTRODUCCIÓN
En el presente informe se mostrará el desarrollo del modelamiento matemático de un sistema de segundo orden, en el cual se va a hacer uso de las fórmulas vistas en clase, además de los procedimientos requeridos para encontrar las transformadas de las funciones planteadas, encontrar la función de transferencia, hallar los polos, en que tiempo se estabiliza, cuál sería su valor de estado estacionario, su factor de amortiguación, frecuencia de oscilación, etc.
Para la primera parte del desarrollo se tuvo que hallar la ecuación diferencial para lograr el diseño del sistema, este se realizó a través de la definición de transformada de Laplace de una derivada, siendo esta:
[pic 1]
Por medio de la definición, se encontró el resultado de la ecuación diferencial inicial y así continuar con el ejercicio, factorizando los valores Y(s) y U(s) correspondientes, que nos permitían finalmente poder despejar nuestra ecuación y así encontrar nuestra función de transferencia.
[pic 2]
Teniendo en cuenta que estábamos trabajando con sistemas de segundo grado, era de vital importancia que la función de transferencia se diera en una estructura igual o similar su definición, la cual es:
[pic 3]
Y a grandes rasgos:
[pic 4]
Igualmente, se debía tener claro cuáles eran los distintos comportamientos que tienen los sistemas de segundo orden. Siendo estos:
- [pic 5]
[pic 6]
Imagen 1. Sistema sobre amortiguado.
- [pic 7]
[pic 8][pic 9]
- [pic 10]
[pic 11][pic 12]
Con esto claro, se entendía con mayor claridad como era la gráfica, comportamiento del sistema incluso antes de simularlo en el Software. Así mismo, al hallar los polos de cada sistema se podría conocer también su comportamiento. Es decir, cuando los polos eran reales se podía deducir que el sistema se iba a comportar de manera sobre o críticamente amortiguada, mientras que si los polos resultaban en complejos conjugados era claro que se comportaba como un sistema sub amortiguado.
También se usaron diferentes tipos de ecuaciones para hallar cada una de las variables establecidas por el profesor para el trabajo final.
- [pic 13]
Con esta ecuación podíamos hallar Zeta, Tiempo de estabilización o la frecuencia natural a la que oscila el sistema.
- [pic 14]
Siendo este el teorema del valor final.
- Tiempo pico:
[pic 15]
- Máximo Sobre picó (Overshoot):
[pic 16]
Cada una de estas ecuaciones fueron aplicadas en algún punto del desarrollo del sistema, y serán explicadas mas a fondo en el desarrollo que se llevara a cabo a lo largo del informe.
Para el desarrollo de las simulaciones se utilizo el software Matlab, en este gracias a las funciones de transferencia encontradas, podíamos obtener una gráfica que nos indicaba su punto final, tiempo de estabilización y también nos enseñaba los polos y diferentes incógnitas del sistema.
[pic 17]Imagen 4. Ejemplo comandos Matlab.
Siendo G la función de transferencia, step el comando para obtener la grafica y pzmap el comando para hallar los polos y zeros.
- SELECCIÓN DE UN SISTEMA
Para el desarrollo del proyecto final decidí hacer enfoque en un circuito de amplificación tomando como referencia uno de los libros de Katsuhiko Ogata, para esto escogí un circuito y hallé cada uno de los valores requeridos para el diseño del sistema de segundo grado:
El sistema para desarrollar es:
[pic 18]
[pic 19]
Imagen 5. Sistema para desarrollar.
- MODELADO Y ANÁLISIS DE SISTEMA
Para empezar a diseñar nuestro sistema se hallará la ecuación diferencial que lo define, todo en términos generales para al final reemplazar valores:
En primer lugar, se obtienen las corrientes , , , e :[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
[pic 29]
Después se utilizan las ecuaciones de los nodos A y B.
En el nodo A se tiene:
[pic 30]
[pic 31]
En el nodo B se tiene:
[pic 32]
[pic 33]
Ahora, de la Ecuación 1, vamos a factorizar , y dejaremos los voltajes de entrada y salida a un lado, y el voltaje del Nodo A al otro:[pic 34]
[pic 35]
[pic 36]
[pic 37]
[pic 38]
De la ecuación 2, podemos despejar el valor de : [pic 39]
[pic 40]
[pic 41]
De esta manera, podemos reemplazar la ecuación 2.1, en la ecuación 1.1
[pic 42]
[pic 43]
[pic 44]
[pic 45]
De esta manera, se obtiene el modelo matemático de un circuito eléctrico con amplificador operacional:
[pic 46]
A continuación, para hallar la función de trasferencia de este circuito, lo que vamos a hacer, es aplicar la trasformada de Laplace al modelo matemático anterior, pero primero para tener una mejor compresión, se nombraran los coeficientes que acompañan a nuestras variables:
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