SERIES

Contenido

Series de Taylor 1

¿Qué son las series de Taylor? 1

¿Para qué sirven? 1

¿Cómo funciona? 1

Representación de funciones mediante series de Taylor 2

Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor 3

Bibliografia 6

Series de Taylor

¿Qué son las series de Taylor?

En matemáticas, una serie de Taylor es una representación de una función como una infinita suma de términos.

Estos términos se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinado valor de la variable (respecto de la cual se deriva), lo que involucra un punto específico sobre la función. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, se le denomina serie de McLaurin.

¿Para qué sirven?

La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en número de términos que ha de incluir la aproximación.

Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...

¿Cómo funciona?

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tengan la serie más exacto será el resultado que se está buscando. Dicha ecuación es la siguiente:

O expresado de otra forma:

Donde n! es el factorial de n

F(n) es la enésima derivada de f en el punto a

Representación de funciones mediante series de Taylor

Todas las funciones resultado de las derivadas se grafican y deben de unirse en un punto, mientras más funciones se grafiquen menor será el margen de error.

Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor

La función p(x)=a0+a1x+a2x2+..........+anxn, en la que los coeficientes ak son constantes, se llama polinomio de grado n. En particular y=ax+b es un polinomio de primer grado e y=ax2+bx+c es un polinomio de segundo grado. Los polinomios pueden considerarse las funciones más sencillas de todas. Para calcular su valor para una x dada, necesitamos emplear únicamente las operaciones de adición, sustracción y multiplicación; ni siquiera la división es necesaria. Los polinomios son funciones continuas para todo x y tienen derivadas de cualquier orden. Además la derivada de un polinomio es también un polinomio de grado inferior en una unidad, y las derivadas de orden n+1 y superiores de un polinomio de grado n son nulas.

Si a los polinomios añadimos las funciones de la forma y=p(x)/q(x) (cociente de polinomios, para cuyo cálculo necesitamos también de la división), las funciones raíz cuadrada de x y raíz cúbica de x, y finalmente, las combinaciones aritméticas de los tipos anteriores, obtenemos esencialmente las funciones cuyos valores pueden calcularse por métodos aprendidos en el bachillerato.

A este nivel se tienen nociones de algunas otras funciones tales como log(x), sen(x), ex, ..., pero, aunque se estudian sus propiedades más importantes, no se da una respuesta a las preguntas: ¿Cómo calcularlas? ¿Qué clase de operaciones, por ejemplo, es necesario realizar sobre la x para obtener log(x) o sen(x)?. La respuesta a estas preguntas la proporcionan los métodos desarrollados por el análisis matemático.

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