SERIES

Series Temporales: Dominio de las frecuencias

Series de Fourier

Supongamos que x(t) representa una función continua en el intervalo temporal [0, T]. Dicha función puede ser expresada como una serie o desarrollo de Fourier de la forma

(1)

o

(2)

donde son las frecuencias (harmónicas) y en particular es la frecuencia fundamental (correspondiente al período T). En consecuencia .

Para obtener los coeficientes de Fourier nos valdremos de ciertas relaciones trigonométricas

a)

Queda como ejercicio para el alumno el probarlo

b)

Queda como ejercicio para el alumno el probarlo

La transformada de Fourier de x(t) puede ser obtenida multiplicando (2) por ,e integrando sobre el intervalo [0, T]. Por ejemplo: Multiplicando (2) por e integrando se obtiene

Es decir: (3)

y en forma similar multiplicando (2) por obtendremos

(4)

En forma exponencial

(5)

donde

(6)

Por otra parte corresponde a la frecuencia .

El espectro de potencia de una serie temporal es el cuadrado de la amplitud de cada armónica, y corresponde a la contribución de cada armónica a la energía total de la serie . Es decir:

(7)

Supongamos que ahora tenemos una serie temporal discreta de longitud N con un intervalo constante entre cada dato. Las fórmulas anteriores son similares, con y . Entonces el número de puntos discretos de la serie serán , ya que . El período más corto detectable en la serie es , que corresponde a la máxima frecuencia detectable o frecuencia de Nyquist , y al número de onda máximo . De esta forma la función

(8)

Los coeficientes de Fourier son obtenidos como anteriormente mediante una transformada de Fourier discreta, dando la amplitud de la señal debida a cada armónica.

(9)

(10)

La identidad o teorema de Parceval establece que si satisface las condiciones de Dirichlet (definida y con valor único en el intervalo [0,T], excepto en un número discreto de puntos; periódica con periodo T; y que tanto como sean continuas en el intervalo [0,T]); entonces se verifica que

(11)

La energía promedio es la mismo en el espacio temporal que en el de las frecuencias.

Ejemplo: Supongamos una serie de valores medios mensuales (caudales, temperatura media, etc.) sobre la que realizamos promedios sobre todos los años para cada mes del año, (n=1,…,12; es el valor promedio para enero, para febrero, etc.). Es decir que podemos obtener una serie que represen te al ciclo anual con una longitud N=12 y un intervalo igual a un mes. Típicamente podemos representar el ciclo anual con al menos dos armónicas, que nos posibilite mostrar la falta de simetría entre invierno y verano:

El término representa el promedio anual (correspondiente a la armónica de frecuencia cero), los términos y representan la componente periódica con un período igual a 12 meses (frecuencia fundamental); mientras que los términos y representan la componente periódica con período igual a 6 meses (primera armónica).

Los coeficientes pueden ser obtenidos de acuerdo a (9) y (10) de la forma

Una vez que los coeficientes han sido obtenidos, el ciclo anual puede ser removido de la serie temporal original para trabajar con las anomalías.

Filtros digitales

Supongamos que deseamos modificar las oscilaciones de ciertas frecuencias en una serie temporal, mientras que las correspondientes a otras frecuencias permanezcan sin alteración. Por ejemplo remover de la serie las altas frecuencias. Este procedimiento se denomina filtrado de la serie.

Cada número de onda k corresponde a la frecuencia y a un período . A modo de simplificación podemos definir una frecuencia adimensional , multiplicando la frecuencia por : Esto es

cuya variación es entre 0 y

Note el lector que para el caso de la máxima frecuencia detectable tenemos que . Note también el lector que a la frecuencia de Nyquist ( ) sólo el coseno puede ser detectado, el seno es “invisible”. Claramente la onda con un período estará pobremente representada. Otras ondas cortas (con períodos entre y ) estarán también distorsionadas para un muestreo a intervalos . Por ejemplo, si tenemos datos dos veces por día, el ciclo diurno estará pobremente representado, necesitaremos datos cuatro veces por día o más para representar adecuadamente el ciclo diurno. En consecuencia es bastante frecuente el filtrar (suavizar) las series temporales para que las altas frecuencias (no resolubles) no estén presentes.

De forma introductoria para entender la respuesta

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