VECTORES

UNIDAD I

VECTORES

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Determinar los valores de p, q y r tales que la igualdad propuesta sea válida.

a) (p, 2q, r-1) = (5, q, 2r)

b) (p + 1, 2q+3, 2r+1) = (3, q + 1, r-2)

Solución:

a) (p, 2q, r-1) = (5, q, 2r)

Para que se cumpla la igualdad propuesta, es necesario que las componentes de ambos vectores sean iguales. Igualándolas, nos queda:

p = 5

2q = q

r-1 = 2r

p = 5

2q-q = 0

r-2r = 1

Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales, resulta:

p = 5 , q = 0 , r = -1

b) (p +1, 2q+3, 2r+1) = (3, q +1, r-2)

Para que se cumpla la igualdad propuesta, es necesario que las componentes de ambos vectores sean iguales. Igualándolas, nos queda:

p +1 = 3

2p+3 = q +1

2r+ 1 = r - 2

p = 2

2q – q = -3 + 1

2r + -r = -1-2

Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales, resulta:

p = 2, q = -2 , r = -3 ,

2.-Determinar los valores de p, q y r tales que la igualdad propuesta sea valida.

a) (p + q, 2p-q, r + 1) = (3, 3, 3)

b) (3p-r, p + 2r, 3q) = (1, 5, q)

Solución:

a) (p + q, 2p-q, r + 1) = (3, 3, 3)

p +q = 3

2p-q = 3

r + 1 = 3

p = 3 – q

2p-q = 3

r = 2

p = 3 – q

6 – 3q = 3

r = 2

p = 2, q = 1, r = 2

b) (3p-r, p +2r, 3q) = (1, 5, q)

3p – r = 1

p + 2r = 5

3q = q

3p – r = 1

p + 2r = 5

2q = 0

p = 1 , q = 0, r = 2

3.-Sean v = (3, 1, 2) , u = (-2, 6, 3), r = 2 y s = -3. Determinar un vector o un escalar igual a la expresión dada.

a) v + u b) r v + su c) (r – 2s)u

Solución:

a) v + u = (3, 1, 2) + (-2, 6, 3)

v + u = (3-2, 1+6,2+3)

v + u = (1,7,5)

b) r v + su = 2(3, 1, 2) - 3(-2, 6, 3)

r v + su = (6,2,4) – (-6,18,9)

r v + su = (6+6,2-18,4-9)

r v + su = (12,-16,-5)

c) (r – 2s)u = (2-2(-3))(6,2,4)

(r – 2s)u = (2+6)(6,2,4)

(r – 2s)u = 8(6,2,4)

(r – 2s)u = (48,16,32)

4.- Sean s, t y v los vectores en . Demostrar cada una de las siguientes proposiciones.

a) s + t = Є

b) s + t = t + s

c) v + 0 = 0 + v = v

Solución:

a) s + t =

 s + t = Є

b) s + t = t + s



 =

Como, los elementos de R conmutan, se cumple la igualdad.

c) v + 0 = 0 + v = v





 = = v

5.- dado r = (2,3), s = (-3,1) y t = (4,-2), calcular cada uno de los siguientes vectores

a) r + s

b) r – s

c) r + s – t

d) r – s –t

Solución:

a) r + s = (2,3) + (-3,1)

 r + s = (2-3, 3+1)

 r + s = (-1,4)

b) r – s = (2,3) – (-3,1)

 r – s = (2++3, 3-1)

 r – s = (5,2)

c) r + s – t = (2,3) + (-3,1) + (4,-2)

 r + s – t = (2-3+4, 3+1-2)

 r + s – t = (3,2)

d) r – s – t = (2,3) – (-3,1) – (4, -2)

 r – s – t = (2+3-4, 3-1+2)

 r – s – t = (1,4)

6. Se tira un barco por medio de dos cables para ayudarlo a pasar por unas esclusas. La resultante de la fuerza ejercida por los cables es de 1500 Lb paralela al eje del barco, determinar a) la tensión en cada cable para un valor α= 25º b) el valor de a para que la tensión del cable 2 sea mínima.

a) Se construye el paralelogramo

Por ley de senos:

Se deja como ejercicio despejar T1 y T2 y darlo en unidades del SI.

b) No se conocen la dirección y magnitud del vector T2 ni tampoco la magnitud del vector T1. De entrada podríamos decir que hay 3 incógnitas y solo dos ecuaciones y que seria un sistema que no tiene solución. Analicemos la pregunta que se nos hace y nos damos cuenta que en ella está involucrada la otra condición, el valor mínimo de T2!. Si construimos el triángulo nos damos cuenta que el valor mínimo se consigue cuando hay un ángulo recto entre T1 y T2.

Como se forma un triángulo rectángulo, se aplica trigonometría para encontrar magnitudes.

7.- Dados v Є ; r , s Є demostrar cada una de las siguientes afirmaciones:

a) rv Є

b) si, rv = sv y v 0 entonces r = s

c) 1v = v

d) (-1) v = -v

e) (r + s) v = rv + sv

Solución :

Sea v =

a) rv = r = Є

b) si, rv = ev y v 0 entonces r = s

rv = sv  rv – sv = 0  (r – s) v = 0

pero, v 0

luego, r – s =  r = s

c) 1v = v

1 = =

c) (-1) v = -v

(-1) = = -

d) (r + s)v = rv + sv

(r + s) = r + s

((r + s) ) = +

((r + s) ) =

((r + s) ) = ( ) T&T

8.-Determine la dependencia o independencia lineal de los siguientes grupos de vectores

a)

-

Son L.D.

b)

=0 Son L.D.

c)

Son L.I.

No hay Combinación Lineal.

PRODUCTO ESCALAR

Problema 1.-

Hallar el valor de a de forma que el vector A=2i+aj+k y B=4i-2j-2k sean perpendiculares.

Solución.

Por el Producto Punto sabemos que si A y B son perpendiculares, , por lo que

Para comprobar nuestro resultado, podemos calcular el ángulo existente entre ambos vectores:

Para el vector A:

Para el vector B:

Problema 2.-

Demostrar que los vectores , , y forman un triángulo rectángulo.

Solución:

Para formar un triángulo, pueden ocurrir dos situaciones: que uno sea la suma de los otros dos; que la suma de los tres sea cero.

En nuestro caso, después de revisar los vectores, observamos que , y por consiguiente si forman un triángulo. Resta ahora demostrar que ese triángulo es rectángulo:

Problema 3.-

Hallar la proyección del vector según la dirección de .

Solución:

La proyección es la componente de A en el eje de B. Si realizamos el producto punto de A con B, obtendríamos el producto de la magnitud de la componente de A con la magnitud de B. Como nada más necesitamos el tamaño de la componente de A en el eje de B, el producto debe realizarse con A y un vector unitario en la dirección de B.

El vector unitario en el sentido y dirección de B es:

y la proyección de A sobre el vector B es:

Problema 4.-

Hallar los ángulos que forma el vector con los ejes coordenados.

Solución:

Como los ángulos solicitados pueden considerarse la medida angular entre el vector y cada uno de los vectores unitarios correspondientes, se puede obtener a través del producto interno:

Para el eje x:

Para el eje y:

Para el eje z:

Si se desea comprobar estos ángulos, basta recordar que si son correctos, deben cumplir la relación:

Que por los decimales despreciados en los cálculos, podemos decir que es correcto.

Problema 5.-

Hallar la proyección del vector sobre la recta que pasa por los puntos (2,3,-1) y (-2,-4,3).

Solución:

En este caso, considerando primeramente que A es un vector libre, podemos imaginarnos su punto de aplicación en donde nos convenga. Como se trata de encontrar su componente en la recta que pasa por los puntos dados, su origen puede ser considerado

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