VECTORES

UNIDAD I

VECTORES

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Determinar los valores de p, q y r tales que la igualdad propuesta sea válida.

a) (p, 2q, r-1) = (5, q, 2r)

b) (p + 1, 2q+3, 2r+1) = (3, q + 1, r-2)

Solución:

a) (p, 2q, r-1) = (5, q, 2r)

Para que se cumpla la igualdad propuesta, es necesario que las componentes de ambos vectores sean iguales. Igualándolas, nos queda:

p = 5

2q = q

r-1 = 2r

p = 5

2q-q = 0

r-2r = 1

Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales, resulta:

p = 5 , q = 0 , r = -1

b) (p +1, 2q+3, 2r+1) = (3, q +1, r-2)

Para que se cumpla la igualdad propuesta, es necesario que las componentes de ambos vectores sean iguales. Igualándolas, nos queda:

p +1 = 3

2p+3 = q +1

2r+ 1 = r - 2

p = 2

2q – q = -3 + 1

2r + -r = -1-2

Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales, resulta:

p = 2, q = -2 , r = -3 ,

2.-Determinar los valores de p, q y r tales que la igualdad propuesta sea valida.

a) (p + q, 2p-q, r + 1) = (3, 3, 3)

b) (3p-r, p + 2r, 3q) = (1, 5, q)

Solución:

a) (p + q, 2p-q, r + 1) = (3, 3, 3)

p +q = 3

2p-q = 3

r + 1 = 3

p = 3 – q

2p-q = 3

r = 2

p = 3 – q

6 – 3q = 3

r = 2

p = 2, q = 1, r = 2

b) (3p-r, p +2r, 3q) = (1, 5, q)

3p – r = 1

p + 2r = 5

3q = q

3p – r = 1

p + 2r = 5

2q = 0

p = 1 , q = 0, r = 2

3.-Sean v = (3, 1, 2) , u = (-2, 6, 3), r = 2 y s = -3. Determinar un vector o un escalar igual a la expresión dada.

a) v + u b) r v + su c) (r – 2s)u

Solución:

a) v + u = (3, 1, 2) + (-2, 6, 3)

v + u = (3-2, 1+6,2+3)

v + u = (1,7,5)

b) r v + su = 2(3, 1, 2) - 3(-2, 6, 3)

r v + su = (6,2,4) – (-6,18,9)

r v + su = (6+6,2-18,4-9)

r v + su = (12,-16,-5)

c) (r – 2s)u = (2-2(-3))(6,2,4)

(r – 2s)u = (2+6)(6,2,4)

(r – 2s)u = 8(6,2,4)

(r – 2s)u = (48,16,32)

4.- Sean s, t y v los vectores en . Demostrar cada una de las siguientes proposiciones.

a) s + t = Є

b) s + t = t + s

c) v + 0 = 0 + v = v

Solución:

a) s + t =

 s + t = Є

b) s + t = t + s



 =

Como, los elementos de R conmutan, se cumple la igualdad.

c) v + 0 = 0 + v = v





 = = v

5.- dado r = (2,3), s = (-3,1) y t = (4,-2), calcular cada uno de los siguientes vectores

a) r + s

b) r – s

c) r + s – t

d) r – s –t

Solución:

a) r + s = (2,3) + (-3,1)

 r + s = (2-3, 3+1)

 r + s = (-1,4)

b) r – s = (2,3) – (-3,1)

 r – s = (2++3, 3-1)

 r – s = (5,2)

c) r + s – t = (2,3) + (-3,1) + (4,-2)

 r + s – t = (2-3+4, 3+1-2)

 r + s – t = (3,2)

d) r

...