El Vector

El vector

1. Introducción

2. Componente de un vector. Que es un vector

3. Proyección de un vector

4. Suma y resta de vectores

5. Multiplicación de vectores

6. Propiedades de la adición de vectores

7. Producto escalar de vectores

8. Combinación lineal

9. Dependencia e independencia lineal

10. Base de un espacio vectorial. Vectores unitarios

11. Operaciones con números imaginarios

12. Potencia. Potencia de una potencia

13. Definición de números complejos. Igualdad, conjugado, suma, resta, división

14. Propiedades del conjunto y del módulo (valor absoluto) para la visión de números complejos

15. Conclusión

16. Bibliografía

INTRODUCCIÓN

Las nociones de vectores están implícitamente contenidas en las reglas de composición de las fuerzas y de las velocidades, conocidas hacía el fin del siglo XVII.

Es en relación con la representación geométrica de los números llamados imaginario, como las operaciones vectoriales se encuentran por primera vez implícitamente realizadas, sin que el concepto de vector este aún claramente definido. Fue mucho más tarde, y gracias al desarrollo de la geometría moderna y de la mecánica, cuando la noción de vector y de operaciones vectoriales se concretó.

El alemán Grassman, en 1844, por métodos geométricos introdujo formalmente las bases del cálculo vectorial ( suma, producto escalar y vectorial.

El inglés Hamilton, por cálculos algebraicos, llegó a las mismas conclusiones que Grassman; empleó por primera vez los términos escalar y vectorial.

Hacia el final del siglo XIX, el empleo de los vectores se generalizó a toda la física. Bajo la influencia de los ingleses Hamilton Stokes, Maxwell y Heaviside, y del americano Gibbs (quien utilizó la notación del punto para el producto escalar y del x para el producto vectorial), se amplió el cálculo vectorial, introduciendo nociones más complejas, como los operadores vectoriales: gradiente, divergencia y rotacional.

COMPONENTE DE UN VECTOR

Es muy común que representemos un vector utilizando los valores de sus componentes.

Las componentes cartesianas de un vector son los vectores que se obtienen al proyectarlo sobre los ejes de un sistema de coordenadas situado en el origen del vector.

El siguiente simulador dibuja automáticamente las componentes del vector A. Puedes pulsar y arrastrar con el ratón el extremo del vector.

QUÉ ES UN VECTOR

El vector es un concepto que proviene de la física, en la que se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Mientras que la magnitud escalar se expresa con un número (por ejemplo, la masa de un cuerpo, el volumen, la capacidad de un depósito, la temperatura...), en la vectorial se necesita además la dirección y el sentido. Por ejemplo, cuando nos referimos a un movimiento, no basta con indicar el desplazamiento (módulo), sino también la dirección y el sentido del movimiento. Con este concepto podemos describir en física la velocidad, la aceleración, la fuerza...

Un vector fijo del plano es un segmento cuyos extremos están dados en un orden (segmento orientado). Se representa como AB (con una flecha en la parte superior) siendo A y B los extremos. Los puntos en que comienza y termina el vector se llaman origen y extremo, respectivamente.

VECTORES OPUESTOS

Un vector opuesto a otro es el que tiene el mismo punto de aplicación, módulo y dirección pero sentido contrario. Así el vector opuesto a es .

VECTORES PARALELOS

Es aquel que en ningún momento de su prolongación corta al otro vector paralelo a el.

VECTORES ORTOGONALES

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero.

Si además de ortogonales los vectores son unitarios se llaman ortonormales.

A veces nos piden construir una base ortonormal a partir de otra base que no es ortonormal. Esto se puede hacer por el método de Gram-Schmidt.

Sea B = {b1,b2,b3} una base que no es ortonormal. Los vectores:

c1 = b1

c2 = b2 - c1.b2/c1.c1(c1)

c3 = b3 - c1.b3/c1.c1(c1) - c2.b3/c2.c2(c2)

VECTORES EQUIVALENTES

Dos vectores son equivalentes (a este nivel los consideramos iguales) si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Se suelen representar , , ..., o con negrita, u, v...

Se dice que un vector fijo tiene la misma dirección que otro si los segmentos que los definen pertenecen a rectas paralelas.

VECTORES NULO

En matemáticas, un vector nulo o vector cero se refiere a un vector que posee módulo (longitud) cero.

Por ejemplo, en el plano cartesiano, el vector nulo es el vector (0,0), es decir, que inicia y termina en el origen. Su representación gráfica es un punto.

En general en un espacio vectorial arbitrario V, el vector u nulo es el vector nulo si u + v = v + v + u para cualquier vector v.

Fijando una base, se tiene que el vector nulo siempre tiene las coordenadas (0,0, ..., 0).

El vector cero es un caso especial de tensor cero. Es el resultado del producto escalar por el número 0.

VECTORES UNITARIOS

En álgebra lineal, un vector unitario es un vector de módulo uno. Frecuentemente se lo llama también versor o vector normalizado.

MODULO DE UN VECTOR

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El

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