ACTIVIDAD 6. TRABAJO COLABORATIVO

Actividad.

De la siguiente función g(x)={(x,y) / 3x^2 – 4y^2 = 12} determine el dominio y el rango:

a) Dominio

Lo primero que se debe efectuar para que la anterior relación quede como función es establecer la relación entre las variables, es decir, dejar una variable en función de la otra, para ello despejamos una de éstas:

3x^2 – 4y^2 = 12

3x^2 –12 = 4y^2

(3x^2 –12)/4=y^2

√((3x^2 –12)/4)=y

√(3x^2 –12)/√4=y

√(3(x^2 –4) )/2=y

(√3 √(x^2 –4))/2=y

Para saber los valores que puede tomar la variable independiente, es decir la variable x que a la larga dará respuesta a la pregunta de cuál es el dominio, se debe tomar en cuenta cuando se puede llegar a indeterminar la función, como el denominador es constante no hay problema porque la variable independiente no aparece en el denominador, sin embargo la variable independiente si aparece en el numerador y está contenido en una raíz cuadrada (es decir par) , para lo cual se debe que su resultado sea cero o mayor que cero, porque dado el caso que no lo fuera no tendría una solución en los número reales.

Entonces la función debe cumplir la siguiente condición para la variable independiente:

3(x^2-4)≥0

x^2-4≥0

(x-2)(x+2)≥0

Para que un producto sea positivo se cumplen dos casos, el primero en el que ambos términos son mayores que cero, el segundo en el que ambos términos son menores que cero, el dominio estará dado por la unión de ambos casos.

Primer caso:

x-2≥0 y x+2≥0

x≥2 y x≥-2

la intersección es:

[2,α)

Segundo caso:

x-2≤0 y x+2≤0

x≤2 y x≤-2

la intersección es:

(-α,-2]

El dominio de la función será la unión entre estos:

(-α,-2]U [2,α)

b) Rango

El rango de la función está dada por los valores que toma la variable dependiente en este caso la y.

√(3(x^2 –4) )/2=y

Observemos que el rango depende en este caso si se toma la parte positiva de la raíz cuadrada o si se toma la parte negativa de la raíz, porque se debe tener presente que una raíz da una respuesta tanto positiva como negativa

Esta son la representación que puede tomar la función dependiendo del signo que se le dé al radical, se puede observar que la variable dependiente puede tomar cualquier valor dentro del conjunto numérico de los reales y por esta razón al analizar la gráfica se puede verificar que el rango de la función son todos los números reales.

2)

Dada las funciones ; . Determine:

f+g= (8x-1)+(√(x-2))

f+g=8x-1+√(x-2)

f+g= (8x-1)-(√(x-2))

f+g=8x-1-√(x-2)

fog= (8(√(x-2))-1)

fog=8√(x-2)-1

gof= √((8x-1)-2))

gof=√((8x-3) )

3) Verifique las siguientes identidades trigonométricas:

a)

cos⁡(x)/〖1-sin〗⁡(x) =(1+sin⁡(x))/cos⁡(x)

〖〖(cos〗⁡(x))〗^2=(1+sin⁡(x) )(〖1-sin〗⁡(x) )

〖〖(cos〗⁡(x))〗^2=〖1-(sin⁡〖(x))〗〗^2

〖〖(cos〗⁡(x))〗^2+〖(sin⁡〖(x))〗〗^2=1

Esta es la identidad fundamental de la trigonometría con lo cual sea verificado la identidad.

b)

sec⁡〖(x)= sin⁡〖(x) (〗 tan⁡〖(x)+〗 cot⁡〖(x))〗 〗

sec⁡〖(x)= sin⁡〖(x) (〗 sin⁡(x)/cos⁡(x) +cos⁡(x)/sin⁡(x) )〗

sec⁡〖(x)=

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