ALGEBRA: CONJUNTOS

EJERCICIOS.

I. En un universo de 30 elementos, se consideran los conjuntos A y B tales que:

n (B – A) =8, n (A)= 15, n (B)= 17

• Determinar:

a. n(A ∩ B)

b. n (Bc ∩ A)

• Datos:

- n (B-A)= 8

- n (A)= 15

- n (B)= 17

- n (U)= 30

a) Usando la fórmula de cardinalidad tenemos:

n (B-A) = n (B) – n (A ∩ B)

8 = 17 - n (A ∩ B)

9 = n (A ∩ B)

Entonces, en el diagrama de Venn queda reflejado asi:

Con esto deducimos que n (A ∪ B)c = 7

b) El complemento de B es (A ∪ B)c + (A-B) (13 elementos).

n (A ∪ B)c + n (A) – n (A ∩ B) = n (Bc)

7 + 15 - 9 = n (Bc)

13 = n (Bc)

Como (A-B) ⊂ (Bc), su intersección es igual a (A-B).

entonces:

n (BC ∩ A) = n [(U) – n (A ∪ B)c] – n (B)

n (BC ∩ A) = n (U) – n (A ∪ B)c – n (B)

n (BC ∩ A) = 30 - 7 - 17 ∴ n (BC ∩ A) = 6

II. Se encuestó a 70 personas sobre sus preferencias con respecto a dos productos, A y B. Los resultados fueron: 45 no consumen el producto A, 30 no consumen el producto B y 35 de ellos consumen A o B pero no ambos.

• Determinar la cantidad de encuestados que consumen ambos productos.

Datos:

- n (U)= 70

- n (AC)= 30 n (A)= 25

- n (BC)= 30 n (B)= 40

- n [(A ∪ B) – (A ∩ B)] = 35

Con el último dato podemos desarrollar, de acuerdo a la fórmula N°6 del capítulo de cardinalidad, la siguiente ecuación:

n [(A ∪ B) – (A ∩ B)] = 35

n (A ∪ B) – n [(A ∪ B) ∩ (A ∩ B)] =35

n (A ∪ B) – n (A ∩ B) =35

n (A) + n (B) – n (A ∩ B) – n (A ∩ B) =35

25 + 40 - 2n (A ∩ B) = 35

- 2n (A ∩ B) = - 30

n (A ∩ B) = 15

Lo representamos asi:

Con esto damos repuesta a la pregunta de este ítem, son 15 personas las que optan por ambos productos.

III. Se encuesta a un total de 45 alumnos en una escuela, con respecto a la práctica de tres deportes: Fútbol, Básquetbol y Vóleibol.

Los resultados fueron los siguientes:

24 practican fútbol; 25 practican básquetbol y 19 practican vóleibol; 9 practican fútbol y básquetbol; 8 practican fútbol y vóleibol; 11 practican básquetbol y voleibol; 5 practican los 3 deportes.

Teniendo en cuenta los datos mencionados, respondan a las siguientes preguntas:

a. ¿Cuántos alumnos no practican deportes?

b. ¿Cuántos alumnos sólo practican fútbol?

c. ¿Cuántos alumnos sólo practican dos deportes?

d. ¿Cuántos alumnos sólo practican un deporte?

Datos:

- n (U)= 45

- n (F)= 24

- n (B)= 25

- n (V)= 19

- n (F ∩ B) =9

- n (F ∩ V)= 8

- n (B ∩ V)= 11

- n (F ∩ B ∩ V)= 5

Con los datos obtenidos, podemos llenar el siguiente diagrama de Venn:

Respuestas:

a. Si sumamos los componentes, podemos ver que es igual al total de componentes del universo, por lo tanto no hay alumnos que no practiquen deportes.

b. Los alumnos practican solamente fútbol son 12.

c. Para calcular cuántos alumnos practican dos deportes hay que sumar las intersecciones entre dos de los conjuntos:

4 + 3 + 6= 13.

d. Para determinar cuántos alumnos practican solo un deporte, se deben sumar las cardinalidades de cada

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