ANALISIS DE LA GRAFICA

1.4.-ANALISIS DE LA GRAFICA

f(x) = 12x + 3x²

f '(x) = 12 + 6x

12 + 6x = 0

6x = -12

x = -12 / 6

x = -2

Punto crítico en x = -2,

f(x=2) = 12(-2) + 3(-2)²

f(2) = -24 + 3(4)

f(2) = -24 + 12

f(2) = -12

Entonces el punto crítico de f(x) es (-2, -12).

Eso nos genera 2 intervalos de análisis para crecimiento y decrecimiento: (-∞, -2) y (-2, +∞).

En el primer intervalo, si x < -2, tenemos que la derivada

f '(x) = 12 + 6x

tiene signo negativo porque el producto 6x siempre será < -12, y al sumarlo a 12 siempre será negativo.

Como en este intervalo la derivada es negativa, la función es decreciente.

En el otro intervalo, si x > -2, tenemos

f '(x) = 12 + 6x

el producto 6x será: o negativo > -12, o positivo. Por lo tanto, el resultado global 12 + 6x será siempre positivo.

Al ser la derivada positiva, deducimos que en este intervalo la función es creciente.

Para saber el resto (concavidad, puntos de inflexión y máximos y mínimos) requerimos de la segunda derivada:

f "(x) = [ f '(x) ] '

f "(x) = [ 12 + 6x ] '

f "(x) = 6

Como para cualquier valor de "x" la segunda derivada es positiva (+6), concluimos varias cosas:

- el punto crítico que hallamos anteriormente es un mínimo.

- no hay puntos de inflexión [no hay ningún valor de "x" que haga que f "(x) = 0].

- por la misma razón dada en el punto anterior, no hay intervalos de análisis de concavidad, y dado que f "(x) es positiva siempre, deducimos que la función siempre es cóncava hacia arriba (forma de U).

1.4.1.-CARACTERISTICAS DE LA GRAFICA

Nota: A veces puede ser difícil o aún imposible solucionar analíticamente todas las ecuaciones que se encuentra en Pasos 1, 2, y 3. A consecuencia, puede que no podríamos saber exactamente donde están las intersecciones en x, los puntos extremos, o los puntos de inflexión. Cuando sucede eso, podemos utilizar tecnología graficada para ayudarnos a determinar aproximaciones acuradas numéricamente.

1.4.2.-FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE

Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que

f( x1 ) < f( x2 ).

Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).

Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ).

Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x2 en los puntos

Resolución:

• La función y = x2 es estrictamente creciente en el intervalo [0, +¥) puesto que si

Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-¥, 0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x3 < x4 Þ x32 > x42 (por ejemplo, -7 < -3 y (-7)2 > (-3)2 ). Es estrictamente decreciente en x = 0.

1.4.3. FUNCION CONTINUA Y DESCONTINUA

Continuidades

Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si

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