Algebra 1

a) 0<a<1⇒a2 <a b) 0<a<1⇒a2 <1 c) a≥1⇒a2 ≥a

d) a ≥ 1 ⇒ a2 ≥ 1

MAT 112 - Algebra I Gu ́ıa N◦1 - Nu ́meros reales

2. Sean a, b ∈ R. Demuestre que:

a) (a>0∧b>0∧a+b=1)⇒(ab≤ 1)

4

b) [a>0∧b>0∧a+b=1]⇒[a2 +b2 ≥ 1] 2

c) 2a + 4b = 1 ⇒ a2 + b2 ≥ 1 √ 20

d)a>0∧b>0⇒ ab<a+b 2

e) (a>0∧b>0)⇒(1 +1)·(a+b)≥4 ab

3. Decida si las siguiemtes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique

a) (∀a∈R)(−a≤0) √

b) (∀a∈R)( a2 =a)

c) (∀a∈R)(∀b∈R)(a2 +b2 ≥2ab)

d) (∀a,b∈R+)(√a2 +b2 ≥a+b) 4. Demuestre las siguientes proposicines:

9a2 4b3

a) Siaybnu ́merosrealestalquea̸=0yb>0,entonces b3 + a2 ≥12.

b) Si a y b son nu ́meros reales positivos, entonces √a + b ≤ √a + √b.

c) Sia,b,cydnu ́merosrealestalesquea2+b2 =1yc2+d2 =1,entoncesac+bd≤1.

d) Si a y b son nu ́meros reales positivos, entonces a3b + ab3 ≤ a4 + b4. a+b √

e) Si a > 0 e b > 0 entonces 2 ≥ ab. ¿En cuales casos se cumple la igualdad?. 5. Demuestre las siguientes proposiciones:

a) NoexistexenRtalquex2+x+1=0.

1

b) Lau ́nicasoluci ́ondelaecuaci ́onx2+xy+y2 =0esx=y=0.

6. Determine los valores r en R para que 3 sea soluci ́on de la ecuaci ́on 4x2 − (r + 1)x + (2 − r) = 0.

7. SearenRyconsiderelaecuaci ́on(1−r)x2+x+(1−r)=0.

a) ¿Para qu ́e valores de r, la ecuaci ́on (1−r)x2 +x+(1−r) = 0 tiene sus soluciones reales e iguales? b) ¿Para qu ́e valores de r, la ecuaci ́on (1 − r)x2 + x + (1 − r) = 0 tiene una u ́nica soluci ́on real?

8. Encuentre todos los nu ́meros reales x que estan a distancia menor ́o igual que 1 del real −7. 2

9. Determine si la siguiente proposici ́on es verdadera o falsa. Justifique su respuesta.

Los nu ́meros reales que est ́an a lo m ́as a distancia 2 del nu ́mero 3 tambi ́en est ́an a lo m ́as a distancia

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