Angulos Suplementarios

Introducción

Un ángulo puede estar situado en cualquiera de los cuatro cuadrantes de la circunferencia. Los valores de sus correspondientes razones trigonométricas dependen de su posición.

Cuando un ángulo se encuentra situado en el segundo, tercero o cuarto cuadrante siempre es posible relacionarlo con otro del primer cuadrante cuyas líneas trigonométricas tengan los mismos valores absolutos.

Las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos situados en los distintos cuadrantes resultaban esenciales cuando no se disponía de calculadoras. Existían tablas con los valores de las razones para ángulos del primer cuadrante. Los demás ángulos no figuraban en la tabla pues no era necesario: bastaba con reducirlo al primer cuadrante.

No obstante el tema de interés ángulos suplementarios, ángulos que se diferencian en 180º y ángulos opuestos.

Ángulos suplementarios

Dos ángulos suplementarios son aquellos cuya suma de medidas es 180° (grados sexagesimales).

Así, para obtener el ángulo suplementario β de un determinado ángulo α comprendida entre [0,180º], se restará α a 180°, de manera que:

β = 180° – α

En otras unidades de medida del ángulo plano, 180 grados sexagesimales equivalen a π radianes, o 200 grados centesimales y 360 grados sexagesimales equivalen a 2π radianes, o 400 grados centesimales.

Propiedades

• Si dos ángulos son suplementarios de otros dos ángulos congruentes, también son congruentes entre sí.

• Los senos de los angulos suplementarios son los mismos, por ejemplo:

sin( α° ) = sin( 180° - α° )

sin( α ) = sin( π - α )

sin( 120° ) = sin( 60° )

• Los cosenos de los ángulos suplementarios son de igual valor absoluto, pero de signo inverso, como muestran los siguientes ejemplos:

cos( α° ) = - cos( 180° - α° )

cos( α ) = - cos( π - α )

cos( 120° ) = - cos( 60° )

Ejemplos:

1. ¿Cuál es el complemento de 75º?

Solución:

Sea

x = complemento de 75º

Por definición de ángulos complementarios:

x + 75º = 90º → x = 90º - 75º

x = 15º La respuesta correcta es el inciso "c"

x = 15º

2. Según la figura:

¿Cuál es el valor de x?

a) 15º b) 35º c) 180º d) 360º

Solución:

Los ángulos son complementarios, entonces

x + 55º + 20º = 90º → x = 90º - 55º - 20º

x = 15º La respuesta correcta es el inciso "a"

x = 15º

3. De acuerdo con la figura:

¿Cuál es el valor de x?

a) 180º b) 90º c) 225º d) 105º

Solución:

Los ángulos son suplementarios, entonces

35º + x + 40º = 180º → x + 75º = 180º

x = 180º - 75º

x = 105º La respuesta correcta es el inciso "d"

x = 105º

Ángulos que se diferencian en 180°

Ángulos que difieren 180 grados

Vamos a relacionar las razones trigonométricas de los ángulos que se diferencian en 180º, como pueden ser: 30ºy 210º, 45º y 225º, 60º y 240º,...

Supongamos un ángulo a / 0 £ a £ p/2.

(Pensemos por ejemplo en 30º)

Representemos gráficamente sus razones trigonométricas seno y coseno en la circunferencia goniométrica (circunferencia de centro (0,0) y radio 1); el trazo rojo será el seno y el trazo rosa el coseno.

Si representamos en la misma circunferencia el seno y coseno de un ángulo

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