Ángulos de Euler

Ángulos de Euler

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Este artículo trata de los ángulos de Euler de la teoría matemática de rotaciones. Para el uso de la palabra en aeronáutica ver ángulos de navegación

Los ángulos de Euler constituyen un conjunto de tres coordenadas angulares que sirven para especificar la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro sistema de referencia de ejes ortogonales normalmente fijos.

Fueron introducidos por Leonhard Euler en mecánica del sólido rígido para describir la orientación de un sistema de referencia solidario con un sólido rígido en movimiento.

Índice

• 1 Definición

• 2 Relación con los movimientos de rotación

o 2.1 Rotaciones de Euler

o 2.2 Otros sistemas de rotaciones equivalentes

o 2.3 Matrices de rotación y velocidad angular

• 3 Ángulos de Tait-Bryan

• 4 Enlaces externos

Definición

Dos sistemas ortogonales en el que se muestran los ángulos de Euler.

Dados dos sistemas de coordenadas xyz y XYZ con origen común, es posible especificar la posición de un sistema en términos del otro usando tres ángulos α, β y γ.

La definición matemática es estática y se basa en escoger dos planos, uno en el sistema de referencia y otro en el triedro rotado. En el esquema adjunto serían los planos xy y XY. Escogiendo otros planos se obtendrían distintas convenciones alternativas, las cuales se llaman de Tait-Bryan cuando los planos de referencia son no-homogéneos (por ejemplo xy y XY son homogéneos, mientras xy y XZ no lo son).

La intersección de los planos escogidos se llama línea de nodos, y se usa para definir los tres ángulos:

• α es el ángulo entre el eje x y la línea de nodos.

• β es el ángulo entre el eje z y el eje Z.

• γ es el ángulo entre la línea de nodos y el eje X.

La intersección de los planos coordenados xy y XY se llama línea de nodos. Más adelante se establecerá que los tres ángulos de Euler descritos son los valores de las tres rotaciones intrínsecas que describen el sistema.

Notar que también se considera la notación: , y

Relación con los movimientos de rotación

Rotaciones de Euler

Rotaciones de Euler de la tierra. Rotación intrínseca en verde, Precesión en azul y Nutación en rojo.

Son los movimientos resultantes de variar uno de los ángulos de Euler dejando fijos los otros dos. Tienen nombres particulares:

• Precesión

• Nutación

• Rotación intrínseca

Este conjunto de rotaciones no es ni intrínseco ni extrínseco en su totalidad, sino que es una mezcla de ambos conceptos. La precesión es extrínseca, la rotación intrínseca lógicamente intrínseca, y la nutación es una rotación intermedia, alrededor de la línea de nodos.

Cumplen la siguiente propiedad. Si escribimos la rotación de ángulos como una composición de éstas tres rotaciones:

entonces se cumple:

Como consecuencia de estas propiedades, estas rotaciones son commutativas entre ellas:

lo cual también podría verse intuitivamente usando la analogía entre los ángulos de Euler y los de un soporte Cardán

Otros sistemas de rotaciones equivalentes

Con unas condiciones iniciales determinadas, los ángulos de Euler son equivalentes a una composición de rotaciones:

Soporte cardán

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