Anualidades

18 anualidades con pagos infinitos: perpetuidades

A perpetuidad es una anualidad cuyo mandato es infinito, es decir, una renta vitalicia cuyos pagos continuará para siempre con el primer pago se produce de forma inmediata (perpetuidad-parto) o un período a partir de ahora (perpetuidad inmediata). Por lo tanto, no existen valores acumulados de perpetuidades.

Vamos a determinar el valor presente de una perpetuidad-inmediata en el período de tiempo antes de que el primer pago, en un pago de 1 se realice al final de cada período. El valor actual se denota por a1. Un diagrama de tiempo de este caso se da en la figura 18.1

Utilizando la ecuación de valor en el tiempo t = 0, encontramos

= Progresión geométrica infinita con V <1

La interpretación verbal de esta fórmula es la siguiente: Si la tasa efectiva periódica de interés es i entonces uno puede invertir un capital de 1 i para un período y obtengo un saldo de 1 + 1 i al final del primer período de $ 1. Un pago de $ 1 está hecho y el saldo restante de 1 i se reinvierte para el próximo período. Este proceso continúa para siempre.

Ahora, ya que

Ejemplo 18.1

Supongamos que una empresa emite una acción que paga un dividendo al final de cada año de 10 dólares por tiempo indefinido, y el costo de las empresas de capital es del 6%. ¿Cuál es el valor del stock al inicio del año?

Solución.

La respuesta es

Análogamente a perpetuidad-inmediata, podemos definir una perpetuidad-debido a ser una secuencia infinita de pagos iguales, donde cada pago se hace al principio del período. Vamos A1 denotan el valor presente de una perpetuidad-debido en el momento de primer pago se hace. Un diagrama de tiempo que describe este caso se da en la Figura 18.2.

La ecuación de valor en el tiempo t = 0 es

Esta fórmula se puede obtener de encontrar el valor actual de un pago de $ 1 al principio del primer período y una anualidad-inmediata. En Efecto,

Ejemplo 18.2

¿Qué estarías dispuesto a pagar por un flujo infinito de $ 37 pagos anuales (los flujos de efectivo) que comienzan ahora, si la tasa de interés es del 8% anual?

Solución.

La respuesta es

Observación 18.1

Nosotros señalamos al principio de la sección que se acumuló valores para no existen perpetuidades ya que los pagos continúan siempre. Podemos argumentar matemáticamente de la siguiente manera: Si una perpetuidad-inmediata tiene un valor acumulado, denotado por S∞, entonces esperamos tener S∞ = limn→∞ Sn pero

No existe desde el 1 + i > 1 y limn→∞ (1+i)n=∞

Perpetuidades son útiles para proporcionar explicaciones verbales de identidades. Por ejemplo, la fórmula

Puede interpretarse como la diferencia entre los pagos por dos perpetuidades cada pagadores 1 al final de cada período; el primer pago de la primera perpetuidad es de un período a partir de ahora y el primer pago de la segunda perpetuidad es n + 1 períodos a partir de ahora. El valor actual de la primera perpetuidad es 1i y el de la segunda es a perpetuidad vni

Una relación idéntica mantiene a perpetuidad debido. Eso es

Ejemplo 18.3

Usted puede recibir uno de los siguientes dos conjuntos de flujos de efectivo. En la Opción A, usted recibirá $ 5.000 al final de cada uno de los próximos 10 años. En la Opción B, recibirá X a principios de cada año, para siempre. La tasa efectiva de interés anual es del 10%. Encuentra el valor de X tal que son indiferentes entre estas dos opciones.

Solución.

La ecuación de valor en el tiempo t = 0 es

Al igual que en las anualidades diferidas, uno puede discutir perpetuidades

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