Aplicacion De Drivadas

ÍNDICE

Índice 2

Objetivo del trabajo 3

Introducción 3

Recta tangente y recta normal a la curva en un punto. 4

Teorema de Rolle 5

Función creciente y decreciente 6

Máximos y mínimos de una función 8

Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos 9

Concavidades y puntos de inflexión 9

Análisis de la valoración de funciones 11

Calculo de aproximaciones usando la diferencial 12

Problemas de optimización y problemas de tasas relacionadas 14

Conclusión 15

Fuentes de información 15

OBJETIVO

El objetivo de esta investigación es el aprender a aplicar las derivadas para resolver máximos y mínimos. Estudiar el comportamiento grafico de una función asi como también utilizar mas la regla para derivar funciones.

INTRODUCCION

En esta investigación aplicaremos la derivada para resolver problemas de máximos y mínimos, estudiaremos el comportamiento grafico de una función.

Para finalizar esta investigación resolverás problemas en los que derivaras funciones utilizando las reglas mas conocidas, con el objetivo de complementar el trabajo que has realizado hasta aquí con las seis formulas.

Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

Recta tangente.

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión

Recta normal

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

Curvas ortogonales.

Formalmente, en un espacio vectorial con producto interior V, dos vectores e son ortogonales si el producto escalar de es cero. Esta situación se denota . Además, un conjunto A se dice que es ortogonal a otro conjunto B, si cualquiera de los vectores de A es ortogonal a cualquiera de los vectores del conjunto B.

Teorema de Rolle, teorema de LaGrange o teorema del valor medio del cálculo diferencial.

El teorema de Rolle nos dice lo siguiente:

Si:

F: es una función continua definida en un intervalo cerrado [a,b]

F: es derivable sobre el intervalo abierto (a,b)

Entonces: existe al menos un número c perteneciente al intervalo {a, b} tal que f ( c).

En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal.

En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para rencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad.

La interpretación geométrica del teorema de Lagrange nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.

El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange, en el que f(a) = f(b). El teorema del valor medio o de Lagrange dice que:

Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que:

La interpretación geométrica del teorema del valor medio nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante. El teorema de Rolle es un caso particular del teorema el valor medio, en el que f(a) = f(b).

Función creciente y Función decreciente

Una de las principales aplicaciones de las derivadas es determinar si la función f está creciendo o decreciendo en un intervalo determinado.

Esto puede encontrarse mediante tomar una único derivada de la función.

Si resulta ser mayor que 0 en cada punto del intervalo dado, entonces es una función creciente.

Por otro lado, si resulta inferior a 0 entonces la función será una función decreciente.

Máximos y mínimos de una función.

Se dice que una función tiene un valor máximo en el punto v, cuando el valor de f(v) es mayor que el valor en cualquiera de los puntos vecinos.

Del mismo modo, cuando el valor es menor que el valor en sus puntos vecinos, entonces ese valor se convierte en el valor mínimo de la función.

Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.

Los relativos máximos o mínimos de la función pueden ser encontrados mediante la búsqueda de la primera derivada de la función.

Si la primera derivada resulta ser mayor que 1, en ese caso, se dice que la función está creciendo sobre el intervalo.

En el caso inverso, cuando la primera derivada resulta ser menor que 1, entonces

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