Máximos Y mínimos De Una Funcion

Guadalajara, Jal. Septiembre 20 del 2014

Profesora: Eréndira Santos Viveros.

Alumno: Francisco Solís Mancilla

Materia: Calculo diferencial Unidad 3, Números reales y funciones

Actividad 3. Máximo y mínimos y gráfica de una función

Se desea inscribir un cilindro circular recto de volumen máximo dentro de un cono como lo muestra la siguiente figura:

Hallar las dimensiones de dicho cilindro.

Volumen del cilindro = ¶ r² h = ¶ r² *24/10(10-r) = 2.4 ¶ r² (10 - r)

Si r = 0 o r = 10 entonces v = 0, así el volumen máximo no se encuentra en la frontera

V = 2.4 ¶ (10r² - r³)

Derivando con respecto a r se tiene.

dv/dr = d/dr (2.4 ¶ (10r² - r³) = 2.4 ¶ (20r – 3r²)

La solución 2.4¶r = 0 por lo tanto r = 0/(2.4¶)= 0

20 - 3r = 0 por lo tanto r = (-20)/(-3) = 20/3

Entonces los números críticos de V son r = 0 y r = 20/3

Apliquemos ahora el criterio de la segunda derivada

d²/dr (2.4¶ (20r – 3r²)) = 2.4¶ (20 – 6r) = 2.4¶ (20 – 620/3) = 2.4 ¶ 20- 40) =

Sustituyendo r por 20/3

d²/dr (2.4¶ (20r – 3r²)) = 2.4 ¶ (20- 40) = - 48¶<0

El máximo se alcanza en r = 20/3 cm.

El valor correspondiente para h es igual.

h = 24/10(10-r) = 24/10(10-20/3) = 8 cm.

Resumiendo se tiene

El máximo se alcanza en r = 20/3 = 6.666cm.

El máximo alcanza en h = 8 cm

Por lo tanto el volumen máximo del cilindro es.

V = ¶ r² h = ¶ *(20/3)² *8 = ¶ 400/9 8 = ¶ 355.55 = 1117.01 cm³

Dada la función y el punto hallar el punto sobre la gráfica de que está más cerca de .

Los puntos de la función se expresaran de la siguiente forma. (x, x²-3x)

Y su distancia al punto (5, -5) es:

√(〖(x-5)〗^2+(x²-3x+5)²)

Cuando se calcula máximos o mínimos de una raíz cuadrada están en la misma coordenada x que los máximos y mínimos de la función sin raíz.

Por lo que se suprime la raíz para hacer este calculo

f(x9 = (x - 5)² + (x² - 3x + 5)²

Derivando la ecuación anterior se tiene

f´(x) = 2(x-5) + 2(x² - 3x + 5) (2x-3) = 0

2(x-5) + 2(x² - 3x + 5) (2x-3) = 0

2x- 10 + 4x³ - 6x² - 12x² + 18x + 20x – 30

4x³- 18x² + 40 x – 40 = 0

2x³ - 9 x² + 20x -20 = 0

Aplicando el método de Ruffini para la solución de polinomios.

Por lo tanto los divisores posibles serian ±1, ±2, ±5, ±10

Para x= 1 se tiene 2 - 9 + 20 – 20 = -7

Para x= -1 se tiene - 2 - 9 – 20 - 20 = -7

Para x= 2 se tiene 16 -36 + 40 – 20 = 0

Luego x = 2 es una solución

2 -9 20 -20

2 4 -10 20

2 -5 10 0

2x² - 5x +10 = 0 por sus características tal parece que no tiene raíces reales, el discriminante es 25 – 80 = - 55 negativo, luego no hay raíces.

Solo x = 2 y puede ser el mínimo.

La derivada segunda es

f´´ (x) = 12 x² - 36 x + 40

f´´ (2) = 48 – 72 + 40 = 16 es positivo luego es un mínimo

Las coordenadas del punto más cercano son:

(2, f (2)) = (2, 2²-3*2) = 2, -2) por lo tanto el punto cercano a P0 (2, -2)

Hallar dos números cuya suma de cuadrados es igual a y cuyo producto sea máximo.

x² + y² = 100

y = √(100 – x²)

Por lo tanto los dos números son (x, √(100-x²))

Su producto seria

F(x) = x √(100-x²)) =

Realizando la derivada de la ecuación anterior para obtener el máximo, e igualando a cero

f´(x) = X d/dx ( 〖(100 - x²) 〗^(1/2) + √(100-x²)) d/dx X

f´(x) = 1/2 x 〖(100 - x²)〗^((-1)/2) * (-2x) + √(100-x²))

f´(x) = - x²/√(100-x²)) + √(100-x²)) = (100-x^2-x²)/√(100-x²)) = (100-2x²)/√(100-x²))

Tomando el numerador para obtener los valores 100 - 2x² = 0 x² = (-100)/(-2)

X

...