Aplicaciones De Maximos Y Minimos

Marco Teórico:

Muchas de las aplicaciones importantes de derivadas incluyen encontrar los valores máximo y mínimo de una función particular. Por ejemplo, la utilidad que obtiene un fabricante depende del precio que cobra por el producto y el fabricante está interesado en conocer el precio que hace que su ganancia sea máxima. El precio óptimo (o mejor precio) se obtiene por medio de un proceso llamado maximización u optimización de la función de utilidad. De una manera similar, una compañía de bienes raíces puede estar interesada en generar el ingreso máximo por renta; una compañía ferroviaria puede necesitar conocer la velocidad promedio a la cual los trenes deben viajar para minimizar el costo por milla de operación; o un economista puede desear conocer el nivel de impuestos en un país que promoverá la tasa máxima de crecimiento de la economía. Sin embargo, antes de ver las aplicaciones tales como éstas, analizaremos la teoría de máximos y mínimos.

Definiciones:

a) Se dice que una función f(x) tiene un máximo local en x = c si f(c) > f(x) para toda x suficientemente cerca de c.

Así los puntos P y Q en las gráficas en la figura 1 corresponden a máximos locales de las funciones correspondientes

Figura 1

b) Se dice que una función f(x) tiene un mínimo local en x= c si f(c)< f(x) para toda x suficientemente cerca de c.

Los puntos A y B en las gráficas de la figura 2 corresponden a mínimos locales.

c) El término extremo se utiliza para denotar a un máximo local o bien a un mínimo local.

Una función puede tener más de un máximo local y más de un mínimo local, como se muestra en la figura 3. Los puntos A, C y E en la gráfica corresponden a puntos en donde la función tiene máximos locales, y los puntos B, D y F corresponden a puntos en donde la función tiene mínimos locales.

Figura 2

Figura 3

Definición:

El valor x = c se denomina punto crítico para una función continua f si f(c) está bien definida y si o f´(c) = 0 o f´(x) no existe en x = c.

En el caso cuando o f´(c) = 0, la tangente a la gráfica de y = f(x) es horizontal en x = c. Esta posibilidad se ilustra en la parte a) de la figura 4. El segundocaso, cuando f´(c) no existe, ocurre cuando la gráfica tiene una esquina en x = c(véase la parte b) de la figura 4) o cuando la tangente a la gráfica se vuelve verticalen x= c (de modo que f´(x) se hace infinitamente grande cuando x → c). (Véasela parte c) de la figura 4).

Enfatizamos el hecho de que para que c sea punto crítico, f(c) debe estar biendefinida. Por ejemplo, considere f(x)= x¯¹, cuya derivada es f´(x)=x¯².

Figura 4

Claramente, f´(x) no está acotada cuando x→0. Sin embargo, x = 0 no es un punto crítico para esta función ya que f(0) no existe.

Es claro de las gráficas de la figura 4 que los extremos locales de una función ocurren sólo en puntos críticos. Pero no todo punto crítico de una función corresponde a un mínimo local o a un máximo local. El punto P en la parte a) de la figura 5, en donde la tangente es horizontal, es un punto crítico pero no es punto máximo local ni punto mínimo local. Los puntos Q y R en las partes b) y c) son puntos críticos en los que f´(c) no existe, pero no son extremos de f(x).

Figura 5

EJEMPLO 1: Determine los puntos críticos de la función

f(x) = x3(2x3 – 3x)

Solución Tenemos f(x) = 2x6 – 3x4. Diferenciando, obtenemos

f'(x) = 12x5 – 12x3 = 12x3(x2 – 1)

Es claro que f'(x) existe para toda x, de modo que los únicos puntos críticos son aquellos en los que f'(x) se hace cero:

f'(x) = 12x3(x2 – 1) = 0

así que

x3 = 0 o bien x2 – 1 = 0

De modo que los puntos críticos son x = 0, ±1

Prueba de la primera derivada:

No todos los puntos críticos son extremos locales; varios ejemplos de puntos críticos que no son extremos locales se ilustraron en la figura 5. El siguiente teorema proporciona la primera de las dos pruebas que pueden utilizarse para decidir si un punto crítico dado es un máximo local o mínimo local, o ninguno de éstos.

Teorema 1 (prueba de la primera derivada):

Sea x = c un punto crítico de la función f. Entonces:

Si f´(x) > 0 para x justo antes de c y f´(x) < 0 justo después de c, entoncesc es un máximo local de f. (Véase la parte a) de la figura 6. Los símbolos (+),(-) o (0) junto a cada parte de la gráfica indica el signo de f´)

a) Si f¨(x) < 0 para x justo antes de c y f´(x) > 0 justo después de c, entoncesc es un mínimo local de f. (Véase la parte b) de la figura 6).

b) Si f_(x) tiene el mismo signo para x justo antes de c y para x justo despuésde c, entonces c no es un extremo local de f. (Véase la parte c) de la figura 6).

Observación En la parte a) del teorema, f cambia de creciente a decrecientecuando x se mueve a la derecha pasando por c. En la parte b), f cambia de decrecientea creciente cuando pasa por c. En la parte c), f es creciente en ambos ladosde c o decreciente en ambos lados.

EJEMPLO 2: Determine los extremos locales de f, en donde f(x) = x4 – 4x3 + 7

Solución En este caso,

f'(x) = 4x3 – 12x2 = 4x2(x – 3)

Figura 6

f' existe para toda x, así los puntos críticos están dados por f'(x) = 0. Esto es, 4x2(x – 3) = 0, o x = 0 y x = 3. Estos puntos críticos dividen la recta real en los tres intervalos (-q, 0), (0, 3) y (3, q). Como de costumbre, determinamos el signo de f' en cada intervalo eligiendo un punto de

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