Aplicaciones Geométricas.

Aplicaciones geométricas.

Recta tangente a una curva en un punto

La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 - 5x + 6 paralela a la recta

y =-3x -2 La pendiente de esta recta es m= -3

f'(a) = 2a – 5 2a − 5 = −3 a = 1

El punto de tangencia es P(1, 2) La recta tangente es y − 2= -3 (x − 1)

Recta normal a una curva en un punto

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

Ejemplo:Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 y paralela a la bisectriz del primer cuadrante (recta y = x ).

La pendiente de la recta dada es m = 1

f'(a) = 2a + 1 = 1 a = 0

Punto de tangencia:(0, 1)

Recta tangente: y − 1 = x y = x +1

Recta normal: y − 1 = −x y = −x + 1

Crecimiento y decrecimiento

Crecimiento :Si f es derivable en a

Decrecimiento:Si f es derivable en a

Extremos:

Tenemos un máximo en x=a si

-La función existe en ese punto.

-En x=a la función pasa de ser creciente a decreciente.

Tenemos un mínimo en x=a si

-La función existe en ese punto.

-En x=a la función pasa de ser decreciente a creciente.

Ejemplo1 : Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) = x3 − 3x + 2

Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:

1. Derivar la función.

f '(x) = 3x2 −3

2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.

3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1

3. Formamos intervalos

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