Area Y Perimetro

Secuencia didáctica: área y perímetro

Plantear situaciones para avanzar en la exploración de relaciones entre perímetros y áreas

Al iniciar el trabajo con áreas y perímetros, un aspecto importante a considerar es la diferenciación entre ambos conceptos. Esa confusión entre áreas y perímetros provoca, muchas veces, que las medidas del perímetro y del área aparezcan intercambiadas entre sí. Por ejemplo, el área muchas veces aparece expresada en centímetros y no en centímetros cuadrados, como si solo fuera un problema de denominación. Por otro lado, los alumnos suponen la existencia de alguna vinculación entre ambos y tienden a pensar que la variación de uno de estos atributos implica la modificación del otro en la misma relación. Por ejemplo, si aumenta el área, aumenta el perímetro, si mantenemos el área, se mantiene el perímetro.

Las actividades que abordan la conservación del área variando el perímetro y las que presenten figuras isoperimétricas (de igual perímetro) en las que varíe el área favorecerán la diferenciación entre ambas magnitudes. Un ejemplo podría ser el conjunto de las dos actividades siguientes.

Para esta primera actividad, es posible organizar la clase en grupos de cuatro integrantes y entregar a cada grupo tarjetas con cuadrados del mismo tamaño divididos en cuatro partes de igual área.

• ¿Es posible que las partes en las que se han dividido los distintos cuadrados tengan igual área? ¿Cómo lo justificás?

Al resolver esta situación los chicos pueden desplegar algunas estrategias tales como:

- Comparar las figuras A y B y justificar que las mitades en ambos casos son iguales, ya sea porque las superponen o porque observan que ambas mitades tienen la misma forma.

- Transformar la figura base de B, en la figura base de A, compensando la superficie, trasladando “el cuadradito” (lo explican dibujando sobre la ficha o recortando y trasladando).

- Tomar el cuadradito como “unidad de medida” y justificar diciendo este cuadradito entra cuatro veces en la figura base de B y también en la figura base

A (algunos alumnos se valen del papel cuadriculado para hacer la reproducción de la figura y poder explicar sus argumentos).

- Justificar la congruencia de parte de la figura A y E, rotando una de las figuras y descomponiendo en mitades los dos cuadrados para cubrir los otros dos rectángulos.

- Compensar las áreas, por ejemplo al analizar la figura C dicen este triangulito que sobra de acá falta allá para formar la letra ele (señalando la figura B).

- Reconocer la misma forma contenida cuatro veces en el cuadrado en las figuras A, B, C y D

- Componer con distintas figuras diciendo: está formada por un rectángulo grande y los triángulos de los costados, calcar y superponer para mostrar la congruencia.

Al desarrollar esta actividad, los alumnos suelen expresar sus conclusiones con expresiones tales como:

- No parecía que todas fueran un cuarto del cuadrado.

- No parecía, porque tenían formas diferentes, pero midiendo (se refieren a las compensaciones) nos dimos cuenta que valían lo mismo, la cantidad de cuadraditos es la misma, cortados o enteros.

- Las mitades de D parecen más grandes que las de A, B, C y E, pero... las dos son mitades y el cuadrado es el mismo... tienen que ser iguales...

- Si contás uno por uno (figura C) los cuadraditos que están enteros y después le sumás los que están en mitades te dan la misma cantidad.

En los casos en los que persistan las dudas, podremos sugerir que reproduzcan las figuras en papel cuadriculado para verificar midiendo (contando los cuadraditos que conforman cada figura base) o bien armar una cuadrícula sobre la figura dada. De las discusiones planteadas es posible concluir que las figuras de formas diferentes pueden tener igual área.

Esta segunda actividad apunta a focalizar sobre los perímetros de figuras de diferente forma e igual área. Para desarrollarla, los alumnos deberán tener disponible papel cuadriculado, que pueden usar o no. Es importante aclarar que todos los grupos tienen las mismas figuras.

• Las figuras A, B, C, D y E tienen diferentes formas pero igual área.

Averiguá si todas tienen el mismo perímetro. Justificá tu respuesta.

Al resolver esta consigna, los chicos suelen afirmar, por ejemplo, que para la figura A hay 4 cuadraditos más 4 cuadraditos más los otros dos son diez cuadraditos.

Para aclarar esta confusión entre lados y cuadraditos es conveniente que intervengamos preguntando ¿dónde están los diez cuadraditos? o bien, ¿y esos 10 cuadraditos ¿cuántos cm son, aproximadamente? Al responder, es posible que los chicos aclaren que se referían a la longitud del lado o traduzcan ese valor a cm, tomando la longitud del cuadradito como 1_2 cm.

Estos fueron algunos procedimientos que utilizaron los chicos para calcular el perímetro de cada figura.

- Asocian los segmentos de igual longitud: 2 cm, 2 cm, 0,5 cm, 0,5 cm.

- Suman segmentos consecutivos: 2 cm + 0,5 cm + 2 cm + 0,5 cm.

Respuesta: 5 cm.

- Asocian los segmentos de igual longitud: 1,5 cm + 1

cm + 1 cm + 0,5 cm + 0,5 cm + 0,5 cm.

- Suman segmentos consecutivos: (1,5 cm + 0,5 cm +

1 cm + 0,5 cm + 0,5 cm + 1 cm).

- Hacen otro tipo de asociaciones (2 cm + 1 cm + 1 cm

Respuesta: 5 cm. + 1 cm).

En la mayoría de los grupos, los alumnos discuten sobre la longitud de los segmentos que están sobre las diagonales del cuadrado (0,5 cm o más de 0,5 cm) y utilizan la regla diciendo que es un milímetro más (0,6 cm).

Respuestas: - 5 cm.

- Más de 5 cm.

En la puesta en común, podremos propiciar la discusión respecto del perímetro de

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