CALCULO DIFRENCIAL

Trabajo colaborativo 3

Unidad #3

Análisis de las Derivadas y sus Aplicaciones

Anderson Amaya Izquierdo

Código: 1036223417

Grupo: 100410_235

Zootecnia

Tutor:

Carlos Andrés Gómez

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

UNAD

CEAD, La Dorada, Caldas

FASE 1

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:

y=1/(x-1); en el punto (2,1)

f(x)=〖(x-1)〗^(-1)

f^´ (x)=〖-1(x-1)〗^(-2)∙(0)

f^´ (x)=(-1)/(x-1)^2

m_t=f^´ (2)=(-1)/〖(2-1)〗^2 =(-1)/〖(1)〗^2 =(-1)/1=-1

m_t=-1

P(2_x1,1_y1)

m_t=-1 Punto pendiente

y-y_1=m∙(x-x_1)

y-1=-1∙(x-2) Propiedad distributiva

y-1=-1x+2 Despejamos y

y=-1x+2+1

y=-1x+3

si h(x)=x/√x halle el valor de h¨(4)

h=4/√4=4/2=2

h=2

Hallar la derivada de las siguientes funciones:

f(x)=〖sen〗^2 2x

f(x)=〖sen〗^2 2x=sen2x*sen2x

si u=2x

f(u)=sen u*sen u

f^,(u)=sen u*cos u+sen u*cos⁡u

f^,(u)=2(sen u*cos u)

f^,(u)=2 sen 2x*cos 2x

Fase 2:

f(x)=ln⁡〖x^7 〗/ln⁡〖x^3 〗

f^,=([(dx/dy ln⁡〖x^7 〗 )*ln⁡〖x^3 〗 ]-[ln⁡〖x^7*〗 (dx/dy ln⁡〖x^3 〗 ) ] )/(ln⁡〖x^3 〗 )^2

si u=x^7

f^,=([〖7x〗^6/x^7 *ln⁡〖x^3 〗 ]- [ln⁡〖x^7 〗* dx/dy ln⁡〖x^3 〗 ] )/(ln⁡〖x^3 〗 )^2

si u=x^3

f^,=([7x^(-1)*ln⁡〖x^3 〗 ]- [ln⁡〖x^7 〗* (3x^2)/x^3 ] )/(ln⁡〖x^3 〗 )^2

f^,=(7x^(-1)*ln⁡〖x^3 〗-ln⁡〖x^7*3x^(-1) 〗)/(ln⁡〖x^3 〗 )^2

f^,=((7 ln⁡〖x^(-3) 〗 )-(3 ln⁡〖x^(-7))〗)/(x(ln⁡〖x^3 〗 )^2 )

f^,=((-21 ln⁡x )-(-21 ln⁡〖x)〗)/x[3(ln⁡x )^* 3(ln⁡x ) ]

f^,=(-21 ln⁡x+21 ln⁡x)/(9x(ln⁡x )^2 )

f^,=0/(9x(ln⁡x )^2 )=0

f(x)=x/e^x

f^,=(d/dx x*e^x-x d/dx e^x)/(e^x )^2

f^,=(1*e^x-〖xe〗^x)/e^2x

f^,=(e^x-〖xe〗^x)/e^2x =(e^x (1-x))/e^2x

f^,=(1-x)/e^x

Derivadas de orden superior.

Hallar la tercera derivada de:

f(x)= e^x ln⁡x

f^,(x)=d/dx e^x*ln⁡〖x+e^x d/dx ln⁡x 〗

f^,(x)=e^x ln⁡〖x+e^x*1/x〗

f^,(x)=e^x ln⁡〖x+e^x/x〗

f^,(x)=d/dx e^x*ln⁡〖x+e^x d/dx〗 ln⁡〖x+(d/dx e^x*x-e^x*d/dx x)/x^2 〗

f^,(x)= e^x ln⁡〖x+e^x/x〗+e^x ((x-1))/x^2

f^,(x)= e^x (ln⁡〖x+1/x〗+((x-1))/x^2 )

f^,(x)= e^x (ln⁡〖x+1/x〗+(x-1)/x^2 -1/x^2 )

f^,(x)= e^x (ln⁡〖x+2/x〗+1/x^2 )

Fase 3

Usando la regla de L’Hopital halle el siguiente límite:

lim┬(x→0)⁡〖cos⁡〖x-1〗/sin⁡x 〗

lim┬(x→0)⁡〖cos⁡〖0-1〗/sin⁡0 〗

lim┬(x→0)⁡〖(1-1)/0〗=0/0 Indeterminación.

〖lim〗_(x→0)=[((cos⁡〖x-1〗 ))/sin⁡x ]∙[((cos⁡〖x+1〗 ))/((cos⁡〖x+1〗 ) )]

〖lim〗_(x→0)=[cos^2⁡〖x-1〗/(sin⁡(x) (cos⁡〖x+1〗 ) )]

〖lim〗_(x→0)=〖-sin^2〗⁡x/sin⁡x(cos⁡〖x+1〗 )

〖lim〗_(x→0)=〖-sin〗⁡x/sin⁡〖x

...