Cinematica Y Algo Mas

Movimiento en dos dimensiones

1.2.3.4.5.6. en la de tema 4 cinematica

Alcance máximo en el plano horizontal

Hemos demostrado que el alcance máximo se obtiene para el ángulo de tiro de 45º, cuando el cañón y el blanco están en una superficie horizontal.

En esta página, vamos a estudiar el movimiento de un proyectil que se dispara desde una altura h sobre una superficie horizontal, y a calcular el ángulo de tiro para el cual el alcance es máximo.

Este ejemplo, nos permiten estudiar en detalle la trayectoria parabólica y practicar con funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Se dispara un proyectil desde una cierta altura sobre el suelo

Se dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.

Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:

vx=v0·cosθ

vy=v0·sinθ-g·t

La posición del proyectil en función del tiempo es

x= v0·cosθ·t

y= h+v0·sinθ·t-g·t2/2

Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.

El tiempo de vuelo T se obtiene poniendo y=0 en la segunda ecuación y despejando el tiempo t.

T=v0g(sinθ+√sin2θ+2z)  z=ghv20

El proyectil llega al punto de impacto en el instante t=T. Sustituyendo t en la primera ecuación obtenemos el alcance, o distancia horizontal entre el origen y el punto de impacto, R.

R=v20g(sinθ+√sin2θ+2z)cosθ  z=ghv20

En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo de tiro θ.

La componente vy de la velocidad cuando el cuerpo llega al suelo es

vy=v0sinθ−gT=−v0√sin2θ+2z

La velocidad final vf del proyectil cuando llega al suelo y el ángulo que forma con la horizontal (véase la primera figura) es

vf=√v2x+v2y=v0√1+2ztanϕ=vyvx=−√sin2θ+2zcosθ

El módulo de la velocidad final vf se puede calcular también, aplicando el principio de conservación de la energía.

12mv20+mgh=12mv2f

Alcance máximo

Derivando R con respecto del ángulo de tiro θ e igualando a cero obtenemos el ángulo de tiro θm para el cual el alcance es máximo.

(cosθ+2sinθcosθ2√sin2θ+2z)cosθ−(sinθ+√sin2θ+2z)sinθ=0(cos2θ−sin2θ)(sinθ+√sin2θ+2z)=2zsinθ√sin2θ+2z=2zsinθcos(2θ)−sinθ

Elevamos al cuadrado y simplificamos

(1−2·sin2θ)2=2z·sin2θ−2·sin2θ(1−2·sin2θ)

cos2θ=1+2z2+2z  sin2θ=12+2z

El ángulo θm para el cual el alcance R es máximo vale

tanθm=1√1+2z=v0√v20+2gh

Sustituyendo cosθ y sinθ en función del parámetro z, en la expresión del alcance R, se obtiene después de algunas operaciones

Rm=v20g√1+2z=v0g√v20+2gh

Otra forma de expresar el alcance máximo Rm es

Rm=v20g·tanθm

Teniendo en cuenta la relación trigonométrica

Rm=v20g·tanθm

llegamos a esta expresión tan simple para el alcance máximo

Rm=h·tan(2θm)

El tiempo de vuelo Tm para el ángulo θm

Tm=v0g√2+2z=√2(v20+2gh)g

El alcance máximo sin cálculo de derivadas

Una forma alternativa de calcular el ángulo θm, sin tener que realizar un cálculo de derivadas es el siguiente:

Eliminamos el tiempo t, en de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, llegamos a la ecuación de la parábola (recuérdese que 1/cos2θ=1+tan2θ)

y=xtanθ−gx22v20(1+tan2θ)

En el punto de impacto con el suelo y=0, obtenemos la ecuación de segundo grado en tanθ

gR22v20tan2θ−R·tanθ+(gR22v20−h)=0

con dos soluciones para R<Rm, y una solución para R=Rm y ninguna para R>Rm,véase la figura.

Esto implica que el discriminante de la ecuación de segundo grado debe ser cero para el ángulo θm que hace que el alcance sea máximo

R m 2 −4 g R m 2 2 v 0 2 ( g R m 2 2 v 0 2 −h )=0   R m = v 0 g 2gh+ v 0 2

El mismo resultado que ya obtuvimos de una forma más laboriosa.

Velocidad final y velocidad inicial

La velocidad final y el ángulo que forma con el eje X son

v f = v 0 1+2z tan⁡ ϕ m =− sin 2 θ+2z cos⁡θ =− 1+2z

La relación entre el ángulo de disparo θm y el ángulo φm que forma el vector velocidad cuando el proyectil llega al suelo es

tan⁡ ϕ m =− 1 tan⁡ θ m    θ m = ϕ m + π 2

El vector velocidad inicial v0 y el vector velocidad final vf son perpendiculares,

Ejemplo:

• La velocidad de disparo v0=60 m/s,

• La altura inicial del proyectil h=200 m

• El ángulo de tiro θ=30º.

El alcance R es

z= 9.8·200 60 2 =0.54  R= 60 2 9.8 ( sin30º+ sin 2 30º+2·0.54 )cos⁡30º=527.2 m

El tiempo T de vuelo del proyectil es

T= 60 9.8 ( sin30º+ sin 2 30º+2·0.54 ) =10.1 s

• El alcance máximo (véase la última figura) se obtiene para el ángulo

tan⁡ θ m = 1 1+2·0.54    θ m =34.7º

El alcance y el tiempo de vuelo para este ángulo son, respectivamente

R m = 60 2 9.8 1+2·0.54 =530.9   m T m = 60 9.8 2+2·0.54 =10.8   s

• Ángulos de tiro que producen el mismo alcance R=450 m.

Podemos calcular los dos ángulos de tiro que producen el mismo alcance R<Rm, por ejemplo un alcance de R=450 m. Calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθ

9.8· 450 2 2· 60 2 tan⁡ 2 θ−450·tan⁡θ+( 9.8· 450 2 2· 60 2 −200 )=0

θ1=10.8º, θ2=55.3º, Como vemos θ1<θm<θ2

Supongamos que un atleta lanza un peso desde una altura h con una velocidad v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal.

Si el atleta lanza el peso desde una altura de h=2.1 m y quiere que llegue a una distancia Rm=22 m, el ángulo óptimo de lanzamiento θm vale

Rm=h·tan(2θm) θm=42.3º

El análisis del lanzamiento del peso es más complicado, ya que la altura h no es independiente del ángulo θ, tal como se aprecia en la figura, sino que h=H+b·sinθ, siendo H la altura del hombro y b la longitud del brazo. (Véase De Luca 2005)

Actividades

Se introduce

• La altura h desde la que se dispara el proyectil, actuando en la barra de desplazamiento titulada Altura.

• El ángulo de tiro θ, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo, o bien, introduciendo el valor del ángulo en el control de edición correspondiente.

• La velocidad de disparo se ha fijado en el valor v0=60 m/s

Se pulsa el botón titulado Empieza

Observamos la trayectoria del proyectil hasta que llega al suelo. En la parte superior del applet, se proporcionan los datos del proyectil:

• tiempo t,

• las componentes de la velocidad vx y vy,

• la posición x, e y

Cuando llega al suelo, podemos anotar el alcance x, el tiempo de vuelo t y la velocidad final del proyectil vx y vy, y comprobar estos resultados con los cálculos realizados manualmente.

El programa interactivo representa, la trayectoria actual del proyectil y su trayectoria anterior. Fijada la altura h, vamos cambiando el ángulo de tiro θ. Mediante el procedimiento de aproximaciones sucesivas, podemos obtener el ángulo para el cual el alcance es máximo.

Se lanza un objeto desde un péndulo simple

Consideremos un objeto que denominaremos proyectil de masa m que cuelga de una cuerda de longitud l. Cuando se separa de su posición de equilibrio y se suelta comienza a oscilar, tal como estudiaremos en la página dedicada al péndulo simple.

Soltamos el proyectil cuando la cuerda se desvía de la posición de equilibrio un ángulo θ0. Se corta la cuerda cuando el péndulo se desvía de la posición vertical un ángulo θ<|θ0|. El proyectil describe una trayectoria parabólica si se desprecia el rozamiento con el aire, tal como se aprecia en la figura.

Principio de conservación de la energía

El proyectil parte de la posición inicial θ0, con velocidad inicial v=0. Describe un arco de circunferencia y llega a la posición final θ, con velocidad v. Aplicamos el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad v. Si ponemos el nivel cero de energía potencial en la parte más baja de la trayectoria

mg(l−lcosθ0)=12mv2+mg(l−lcosθ)v=2gl(cosθ−cosθ0)−−−−−−−−−−−−−−√

Ecuaciones del tiro parabólico

Para describir el movimiento del proyectil, situamos los ejes X e Y del modo en el que se señala en la figura; el eje X en el suelo, y el eje Y tiene la dirección del péndulo en la posición de equilibrio θ=0.

El proyectil se dispara con una velocidad v, haciendo un ángulo θ con la horizontal, desde una altura h=H+(l-lcosθ). Siendo H+l la altura del centro de giro del péndulo.

La posición del proyectil en función del tiempo es

x= l·sinθ+v·cosθ·t

y= h+v·sinθ·t-g·t2/2

Siguiendo los mismos pasos que en la sección anterior. Obtenemos el alcance R, poniendo y=0, en la segunda ecuación, despejando el tiempo de vuelo t, y sustituyéndolo en la primera ecuación de la trayectoria.

R=v2g(sinθ+sin2θ+2z−−−−−−−−√)cosθ+l⋅sinθ  z=ghv2

Expresamos el alcance R en función del ángulo θ

R=2l(cosθ−cosθ0)cosθ(sinθ+sin2θ+H+l(1−cosθ)l(cosθ−cosθ0)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√)+l⋅sinθ

...