Cinematica Y Algo Mas
Enviado por anaitatD • 1 de Marzo de 2015 • 2.637 Palabras (11 Páginas) • 245 Visitas
Movimiento en dos dimensiones
1.2.3.4.5.6. en la de tema 4 cinematica
Alcance máximo en el plano horizontal
Hemos demostrado que el alcance máximo se obtiene para el ángulo de tiro de 45º, cuando el cañón y el blanco están en una superficie horizontal.
En esta página, vamos a estudiar el movimiento de un proyectil que se dispara desde una altura h sobre una superficie horizontal, y a calcular el ángulo de tiro para el cual el alcance es máximo.
Este ejemplo, nos permiten estudiar en detalle la trayectoria parabólica y practicar con funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.
Se dispara un proyectil desde una cierta altura sobre el suelo
Se dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.
Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:
vx=v0·cosθ
vy=v0·sinθ-g·t
La posición del proyectil en función del tiempo es
x= v0·cosθ·t
y= h+v0·sinθ·t-g·t2/2
Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.
El tiempo de vuelo T se obtiene poniendo y=0 en la segunda ecuación y despejando el tiempo t.
T=v0g(sinθ+√sin2θ+2z) z=ghv20
El proyectil llega al punto de impacto en el instante t=T. Sustituyendo t en la primera ecuación obtenemos el alcance, o distancia horizontal entre el origen y el punto de impacto, R.
R=v20g(sinθ+√sin2θ+2z)cosθ z=ghv20
En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo de tiro θ.
La componente vy de la velocidad cuando el cuerpo llega al suelo es
vy=v0sinθ−gT=−v0√sin2θ+2z
La velocidad final vf del proyectil cuando llega al suelo y el ángulo que forma con la horizontal (véase la primera figura) es
vf=√v2x+v2y=v0√1+2ztanϕ=vyvx=−√sin2θ+2zcosθ
El módulo de la velocidad final vf se puede calcular también, aplicando el principio de conservación de la energía.
12mv20+mgh=12mv2f
Alcance máximo
Derivando R con respecto del ángulo de tiro θ e igualando a cero obtenemos el ángulo de tiro θm para el cual el alcance es máximo.
(cosθ+2sinθcosθ2√sin2θ+2z)cosθ−(sinθ+√sin2θ+2z)sinθ=0(cos2θ−sin2θ)(sinθ+√sin2θ+2z)=2zsinθ√sin2θ+2z=2zsinθcos(2θ)−sinθ
Elevamos al cuadrado y simplificamos
(1−2·sin2θ)2=2z·sin2θ−2·sin2θ(1−2·sin2θ)
cos2θ=1+2z2+2z sin2θ=12+2z
El ángulo θm para el cual el alcance R es máximo vale
tanθm=1√1+2z=v0√v20+2gh
Sustituyendo cosθ y sinθ en función del parámetro z, en la expresión del alcance R, se obtiene después de algunas operaciones
Rm=v20g√1+2z=v0g√v20+2gh
Otra forma de expresar el alcance máximo Rm es
Rm=v20g·tanθm
Teniendo en cuenta la relación trigonométrica
Rm=v20g·tanθm
llegamos a esta expresión tan simple para el alcance máximo
Rm=h·tan(2θm)
El tiempo de vuelo Tm para el ángulo θm
Tm=v0g√2+2z=√2(v20+2gh)g
El alcance máximo sin cálculo de derivadas
Una forma alternativa de calcular el ángulo θm, sin tener que realizar un cálculo de derivadas es el siguiente:
Eliminamos el tiempo t, en de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, llegamos a la ecuación de la parábola (recuérdese que 1/cos2θ=1+tan2θ)
y=xtanθ−gx22v20(1+tan2θ)
En el punto de impacto con el suelo y=0, obtenemos la ecuación de segundo grado en tanθ
gR22v20tan2θ−R·tanθ+(gR22v20−h)=0
con dos soluciones para R<Rm, y una solución para R=Rm y ninguna para R>Rm,véase la figura.
Esto implica que el discriminante de la ecuación de segundo grado debe ser cero para el ángulo θm que hace que el alcance sea máximo
R m 2 −4 g R m 2 2 v 0 2 ( g R m 2 2 v 0 2 −h )=0 R m = v 0 g 2gh+ v 0 2
El mismo resultado que ya obtuvimos de una forma más laboriosa.
Velocidad final y velocidad inicial
La velocidad final y el ángulo que forma con el eje X son
v f = v 0 1+2z tan ϕ m =− sin 2 θ+2z cosθ =− 1+2z
La relación entre el ángulo de disparo θm y el ángulo φm que forma el vector velocidad cuando el proyectil llega al suelo es
tan ϕ m =− 1 tan θ m θ m = ϕ m + π 2
El vector velocidad inicial v0 y el vector velocidad final vf son perpendiculares,
Ejemplo:
• La velocidad de disparo v0=60 m/s,
• La altura inicial del proyectil h=200 m
• El ángulo de tiro θ=30º.
El alcance R es
z= 9.8·200 60 2 =0.54 R= 60 2 9.8 ( sin30º+ sin 2 30º+2·0.54 )cos30º=527.2 m
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