Cinematica

Vibración Libre No Amortiguada

Una vibración libre se debe a fuerzas elásticas y gravitatorias principalmente

Ye: Y estática (Es la distancia que hay de la posición de equilibrio a donde estaría el resorte sin la deformación producida por el peso)

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∑Fy = 0 => w = kye

K = W/Ye (Constante del resorte) [ F/L ]

DCL ( Perturbador del sistema)

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+ ↓ ∑Fy = am =w-k(y+ye)

ma= w-ky-kye

ma=-ky

a= - k/my

De la ecuación anterior se observa que el movimiento es armonico simple

w^2= k/m

w = √(k/m)

T = 2π/w ; f = w/2π

Notas

El periodo y la frecuencia es independiente de las condiciones iníciales del movimiento de su amplitud.

El sistema vibra con su frecuencia natural

Si la frecuencia natural se iguala a una frecuencia debida a una fuerza externa; el sistema entra en resonancia.

La frecuencia y periodo no están en función de la posición del cuerpo, con respecto al sistema planetario.

Como m = w/g ; w = √(kg/w)

K = w/Ye w = √(wg/Yew) = √(g/Ye)

De la ecuacion

ma = -ky

(d^2 y)/〖dt〗^2 + k/m y = 0

Ecuacion Diferencial Ordinaria, homogenea de Segundo orden.

s^2 + k/m = 0 => s = √(k/m) i

Por lo que la solución de la ecuación diferencial es :

y = c1 cos√(k/m) t + c2 sen √(k/m) t ------------(2)

Condiciones de frontera:

Si t=0, y=y0 (posición inicial)

y0 = c1 (1)+ c2 (0)

c1 = y0

Derivando la ecuación 2 con respecto al tiempo se tiene

Y= dy/dt = c1 √(k/m) sen √(k/m) t + c2 √(k/m) cos √(k/m) t

Si t=0 y = µ0

µ0 = - c1 √(k/m) (0) + c2 √(k/m) (1)

como w= √(k/m)

c2 = (µ0)/w

y = y0 cos wt + (µ0)/w sen wt

La ecuación anterior se puede indicar en la forma siguiente

y = A cos (wt-ƺ )

A= √(c_1^(2 )+ c_2^(2 ) ) = √(y_0^2+ ( (µ0)/( w) 〖 )〗^2 )

ƺ = 〖tan〗^(-1) (c2 )/(c1 )

CONSTANTE EQUIVALENTE DEL SISTEMA (ke)

La constante equivalente del sistema es igual al cociente de la fuerza (F) entre el desplazamiento unitario (∆) que se aplica donde este concentrada la carga

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DCL (BARRA AB)

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Por triangulos semejantes

∆/l = s/b = > ∆ = sl/b

Ke = F/∆ = (ksb/l)/(sl/b) = 〖kb〗^2/l^2

w = √(keg/w) = b/l √(kg/w)

488 (seely)

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Determinar: A, f

A =2 pul

K = w/ye = 17.5 lb/pul

cu = √(kg/w) = √((17.5*32.2*12)/35) = 13.3 rog/s

f = w/2π = 13.3/2π = 2.2122 He

490 (seely)

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Determinar ke

DCL (M)

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DCL (Resortes 1 y 2)

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∆ = ∆1 + ∆2

K = F/δ

∆ = F/k1 + F/k2

(1/F)/∆ = 1/k1 + 1/k2 = 1/ke ; Kc = F/∆

Para n constantes

1/ke = ∑_(i=1)^n▒1/ki

PARA RESORTES EN PARALELO

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DCL (M)

**

∑Fy = 0 => F = k1 ∆ + k2 ∆

F/∆ = k1 + k2 = ke

Para n resortes

Ke = k1 + k2 +… + km

492 (seely)

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DCL (M)

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K= F/∆

∆3 = F/k3

DCL ( BARRA HORIZONTAL)

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F2 = k2 ∆2

F = F1 + F2

∑M0 = 0 =>F1=F2

F = 2 F1 = 2 F2

DIAGRAMA DE DEFORMACIONES

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Por triángulos semejantes

(∆-∆1)/a = (∆2-∆)/a => ∆ = (∆1+∆2)/2

Como ∆ = ∆+∆3

∆ = (∆1+∆2)/2 + ∆3 = (∆1+∆2+2∆3)/2

Como ∆1 = F/2k1 ; ∆2 = F/2k2 ; ∆3 = F/2k3

∆ = (F/2k1 +F/2k2+2F/2k3)/2 = ∆ = F/4 [ 1/k1 + 1/k2 + 1/k3 ]

1/ke = ∆/F =

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