Cinematica

Vibración Libre No Amortiguada

Una vibración libre se debe a fuerzas elásticas y gravitatorias principalmente

Ye: Y estática (Es la distancia que hay de la posición de equilibrio a donde estaría el resorte sin la deformación producida por el peso)

**

**

∑Fy = 0 => w = kye

K = W/Ye (Constante del resorte) [ F/L ]

DCL ( Perturbador del sistema)

**

+ ↓ ∑Fy = am =w-k(y+ye)

ma= w-ky-kye

ma=-ky

a= - k/my

De la ecuación anterior se observa que el movimiento es armonico simple

w^2= k/m

w = √(k/m)

T = 2π/w ; f = w/2π

Notas

El periodo y la frecuencia es independiente de las condiciones iníciales del movimiento de su amplitud.

El sistema vibra con su frecuencia natural

Si la frecuencia natural se iguala a una frecuencia debida a una fuerza externa; el sistema entra en resonancia.

La frecuencia y periodo no están en función de la posición del cuerpo, con respecto al sistema planetario.

Como m = w/g ; w = √(kg/w)

K = w/Ye w = √(wg/Yew) = √(g/Ye)

De la ecuacion

ma = -ky

(d^2 y)/〖dt〗^2 + k/m y = 0

Ecuacion Diferencial Ordinaria, homogenea de Segundo orden.

s^2 + k/m = 0 => s = √(k/m) i

Por lo que la solución de la ecuación diferencial es :

y = c1 cos√(k/m) t + c2 sen √(k/m) t ------------(2)

Condiciones de frontera:

Si t=0, y=y0 (posición inicial)

y0 = c1 (1)+ c2 (0)

c1 = y0

Derivando la ecuación 2 con respecto al tiempo se tiene

Y= dy/dt = c1 √(k/m) sen √(k/m) t + c2 √(k/m) cos √(k/m) t

Si t=0 y = µ0

µ0 = - c1 √(k/m) (0) + c2 √(k/m) (1)

como w= √(k/m)

c2 = (µ0)/w

y = y0 cos wt + (µ0)/w sen wt

La ecuación anterior se puede indicar en la forma siguiente

y = A cos (wt-ƺ )

A= √(c_1^(2 )+ c_2^(2 ) ) = √(y_0^2+ ( (µ0)/( w) 〖 )〗^2 )

ƺ = 〖tan〗^(-1) (c2 )/(c1 )

CONSTANTE EQUIVALENTE DEL

...