Colaborativo 3 Ecuaciones Diferenciales

INTRODUCCION

Este trabajo presenta tres ejercicios prácticos sobre los temas estudiados en la unidad 3 del curso de Ecuaciones Diferenciales. Para el desarrollo los estudiantes que aportaron a la construcción del trabajo, realizaron los ejercicios en forma individual, posteriormente se seleccionan los procedimientos que el grupo consideró acertados y se hizo una compilación como entrega final.

Hallar el radio de convergencia de las siguientes series:

EJERCICIO A

∑_(n=1)^∞▒〖(x)〗^n/2^n

R=1/lim┬(n→∞)⁡|(a_n+1)/a_n |

lim┬(n→∞)⁡|(a_n+1)/a_n |=lim┬(n→∞) (x^(n+1)/2^(n+1) )/(x^n/2^n )

lim┬(n→∞) x/2=1/2

R=2

EJERCICIO B

∑_(n=1)^∞▒〖(-1)^n/n x^n 〗

■(■(a_n=(-1)^n/n&a_(n+1)=(-1)^(n+1)/(n+1))@lim┬(n→∞)⁡|a_(n+1)/a_n |=lim┬(n→∞)⁡|((-1)^(n+1)/(n+1))/((-1)^n/n)|=lim┬(n→∞)⁡|(((-1)^n*(-1))/(n+1))/((-1)^n/n)|=lim┬(n→∞)⁡|-n/(n+1)|@lim┬(n→∞)⁡〖n/(n+1)〗=1=μ)

R=1/μ=1/1=1

Luego, la serie converge en (-1,1).

En x=-1

∑_(n=1)^∞▒〖(-1)^n/n 〖(-1)〗^n 〗=∑_(n=1)^∞▒1/n

Luego, diverge.

En x=1

∑_(n=1)^∞▒〖(-1)^n/n 〖(1)〗^n 〗=∑_(n=1)^∞▒(-1)^n/n

Y converge.

Mediante series de potencias resolver la ecuación diferencial y escríbala en forma de serie:

y=∑_(n=1)^∞▒C_1 x^n

y^'+y=0

SOLUCION 1

y^'+y=0

■(y=∑_(n=0)^∞▒〖a_n 〖(x)〗^n 〗@y^'=∑_(n=1)^∞▒〖a_n n〖(x)〗^(n-1) 〗)

∑_(n=1)^∞▒〖a_n n〖(x)〗^(n-1) 〗+∑_(n=0)^∞▒〖a_n 〖(x)〗^n 〗=0

Reemplazando

■(n=n+1@∑_(n=1)^∞▒〖a_(n+1) (n+1)〖(x)〗^n 〗+∑_(n=0)^∞▒〖a_n 〖(x)〗^n 〗=0)

Igualando términos

■(a_0+∑_(n=1)^∞▒〖a_(n+1) (n+1)〖(x)〗^n 〗+∑_(n=1)^∞▒〖a_n 〖(x)〗^n 〗=0@a_0=0@∑_(n=1)^∞▒〖〖(x)〗^n [a_(n+1) (n+1)+a_n ] 〗=0)

Entonces

■(a_(n+1) (n+1)+a_n=0@a_(n+1)=-a_n/((n+1) ))

Luego

■(a_(0+1)=a_1=-a_0/((0+1) )=-a_0/1=-a_0=0@a_(1+1)=a_2=-a_1/((1+1) )=-a_1/2@■(a_(2+1)=a_3=-a_2/((2+1) )=-a_2/3=a_1/(2*3)@a_(3+1)=a_4=-a_3/((3+1) )=-a_3/4=-a_1/(2*3*4)@a_(4+1)=a_5=-a_4/((4+1) )=-a_4/5=a_1/(2*3*4*5)))

La serie quedaría

y=-a_1/2! x^1+a_1/3! x^2-a_1/4! x^3-…

SOLUCION 2

∑_(n=1)^∞▒〖(-1)〗^n/n x^n

y^'+y=0

y=∑_(n=0)^∞▒〖C_n x^n 〗

y'=∑_(n=1)^∞▒〖〖nC〗_n x^(n-1) 〗

∑_(n=1)^∞▒〖〖nC〗_n x^(n-1) 〗+∑_(n=0)^∞▒〖C_n x^n 〗=0

∑_(n=0)^∞▒〖(n+1)C_(n+1) x^n 〗+∑_(n=0)^∞▒〖C_n x^n 〗=0

∑_(n=0)^∞▒〖((n+1)C〗_(n+1) +C_n)x^n=0

(n+1)C_(n+1)+C_n=0

C_(n+1)=C_n/((n+1) )

C_1=-C_0

C_2=-〖1/2 C〗_1

C_3=-〖1/3 C〗_2

C_4=-〖1/4 C〗_3

C_5=-〖1/5 C〗_4

C_0-C_0+1/2 C_0-1/6 C_0+1/24 C_0-1/120 C_0+⋯

Encuentre los primeros cuatro términos de las series de potencias sen x y cos x y realice la multiplicación, es decir:

sin⁡〖x*〗 cos⁡x=

SOLUCION 1

Serie potencias seno

sin⁡x=∑_(n=0)^∞▒((-1)^n x^(2n+1))/(2n+1)!

Primeros 4 términos

sin⁡x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!

Serie coseno

cos⁡x=∑_(n=0)^∞▒((-1)^n x^2n)/(2n)!

Primeros 4 términos

cos⁡x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!

Multiplicando

sin⁡x*cos⁡x=(x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!)(1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!)

...