Ecuaciones Diferenciales Colaborativo 1

INTRODUCCION

En el siguiente trabajo del colaborativo 1 daremos a conocer y desarrollar una series de ejercicios de la unidades del modulo donde se realizaran con las ecuaciones lineales de primer orden y no, lineales, de nuestra perspectiva profesional es de vital importancia tener claro cada uno de estos conocimientos los cuales enriquecen nuestro saber y hacen parte de nuestra formación diaria para que en un futuro colocar en práctica.

1. Definir el orden y linealidad de las siguientes ecuaciones diferenciales:

y^((4) ) □(- y^(´´) ) □(=) 9 y B. x(〖 d〗^(3 ) y)/〖dx〗^3 ¬¬–(dy/dx)4 □(+ y) □( =) 0

C. (y^(2 ) □(-) 1) dx □(+ xdy □(=0))

y^((4) ) □(- y^(´´) ) □(=) 9 Ecuación diferencial ordinaria, de cuarto orden, lineal

x(〖 d〗^(3 ) y)/〖dx〗^3 ¬¬–(dy/dx)4 □(+ y) □( =) 0 Ecuación diferencial ordinaria, de tercer orden, no lineal (Potencia distinta de uno)

(y^(2 ) □(-) 1) dx □(+ xdy □(=0)) Ecuación diferencial ordinaria, primer orden , no lineal

(Potencia distinta de uno)

2. Sea y□(= c_1 e^(x ) □(+ c_2 )) e^(-2x) una familia biparametrica de soluciones de la ecuación diferencial de segundo orden y’’ + y’ – 2y = 0. Determine la solución particular dada las condiciones iníciales que se proporcionan:

y (0)=1,y^' (0)= 2

y (1)=0,y^(' ) (1)=e

SOLUCION

y^'= c_(1 ) e^x- 2 c_2 e^(-2x)

Donde: y(0)= 1 ; c_1 e^0+ c_(2 ) e^0

1= c_1+ c_2

y^(' ) (0)= 2,2 c_1 e^o-2 c_(2 ) e^0

2= c_1- 2 c_2

Resolvemos: c_1+ c_2=1

〖 c〗_1- 2 c_2=2

3 c_2= -1

〖 c〗_2=- 1/3

c_(1 )=1- c_2

c_(1 )=1+ 1/3

c_(1 )= 4/3

La solución es: y_(p )= 4/3 e^x- 1/3 e^(-2x)

3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales separables:

dy/dx= X/(Y ) - X/(1+Y ) y B.〖(tan〗⁡〖X* 〖sen〗^(2 ) 〗 y) dx+(cot⁡〖y*〖cos〗^2 〗 x)dx

C.e^(2x-y) dy+ e^(y-2x) dx=0

Rta

( dy)/dx= X/(Y ) - X/(1+Y ) donde dy/dx= (x(1+y)- xy)/(y (1+y))

dy/dx= (x+xy-xy)/(y (1-y)) dy/dx= x/(y(1+4))

y (1+y)dy=xdx ∫▒y (1+y)dy=xdx ∫▒〖(y+y^2 〗 dy=∫▒x dx

y^2/2+y^3/3= x^2/2+c

3 y^2+2y^3=3 x^2+6c 3y^2+2y^3-3x^2=6c

〖(tan〗⁡〖X* 〖sen〗^(2 ) 〗 y) dx+(cot⁡〖y*〖cos〗^2 〗 x)dx

tan⁡〖x 〖sen〗^2 〗 ydx= -cot⁡〖y 〖cos〗^2 〗 xdy tan⁡〖x 〗/(〖cos〗^2 x ) dx= cot⁡y/(〖sen〗^2 y) dy

(sen x)/cos⁡x

(〖cos〗^2 x)/1 dx= - cos⁡〖y 〗/(sen y ) dy

〖sen〗^(2 ) y

(sen x )/(〖cos 〗^3 x ) dx= cos⁡〖y 〗/(〖sen 〗^(3 ) y) dy

Hacemos y= cos⁡x Hacemos v= sen⁡x

du= - sin⁡x dx dv= cos⁡x dx

(-du)/u^3 =dv/v^3

〖-u〗^3 du= v^3 dv Integramos

-∫▒〖u^3 du 〗= ∫▒〖v^3 dv 〗

-u^(-2)/(-2)=v^(-2)/(-2)+c

(-1)/(-2u^2 )=-1/(2v^2 )+c

1/(2〖cos〗^(2 ) x)=(-1)/(2〖sen〗^(2 ) y)+c

e^(2x-y) dy+ e^(y-2x) dx=0

e^(2x )/(ey ) dy+ e^y/e^(2y ) dx=0

e^2x/(ey ) dy= e^y/e^2x dx

e^2x e^(2x ) dy= -e^(y ) e^y dx

e^(4x ) dy= - e^(2y ) dx

(dy )/〖-e〗^2y = (dx )/e^(4x ) 〖-e〗^(-2y ) dy= e^(-4x ) dx 〖-e〗^(-2y ) dy= e^(-4x ) dx

e^(-2x)/2=- e^(-4x )/4+c

2e^(2x )+ e^(-4x)=4c

4. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:

(y-x^(3) ) dx+( x+ y^3) dy=0

m(x,y)= ∂f/∂x

∂f/∂x=y-x^3

f(x,y)=∫▒〖ydx-∫▒〖x^3 dx〗〗

f(x,y)= yx-x/4+h (g)

Donde ∂f/∂x=x+h^' (y)

Ahora x+h^' (y)= x+y^3

h^' (y)=x+y^3-x

h^' (y)= y^3

∫▒〖h^' (y)= ∫▒〖y^3 dy 〗〗

h(y)= y^4/4+c

Solución:

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