Concavidad

Concavidad y punto de inflexión

Otra característica de una función que ayuda a conocer su comportamiento es la

concavidad pero

¿Qué significa concavidad?

El diccionario de la Real Academia Española (2010) dice que

“Cóncavo: Dicho de una curva o de una superficie que se asemeja al interior de una

circunferencia o esfera”.

En el análisis de una función, la concavidad indica hacia dónde “abre” la gráfica de

la función, de esta forma utilizaremos los términos Cóncava hacia arriba y Cóncava

hacia abajo como se indica a continuación:

Término Gráfica Notación

Cóncava hacia arriba

CH↑

Cóncava hacia abajo

CH↓

Para ejemplificar este concepto usemos la función cuya gráfica

es

Gráfica 1.

2

En la gráfica se ha señalado que en cierta porción de la gráfica, ésta se comporta con

una concavidad hacia abajo y en otra sección con concavidad hacia arriba, pero…

¿En qué punto exactamente ocurre este cambio?, ¿matemáticamente cómo se

puede determinar el intervalo de concavidad?

La concavidad de la gráfica de una función puede definirse mediante la primera

derivada de la siguiente manera:

Sea diferenciable en

(i) Si es una función creciente en entonces la gráfica de es

cóncava hacia arriba en el intervalo.

(ii) Si es una función decreciente en , entonces la gráfica de es

cóncava hacia abajo en el intervalo. Zill (1987, p.217),

La interpretación de la definición anterior, se puede realizar a partir del significado

geométrico de la derivada,

“El valor de la derivada en cualquier punto de una curva, es igual a la pendiente de la

tangente a la curva en ese punto”. Fuenlabrada (2001, p. 54)

Además, considerando que una tangente con pendiente negativa se inclina a la

izquierda y una tangente positiva a la derecha como muestra Ibarra Mercado (2006, p.

407)

e integrando los anteriores conceptos resulta que:

1) Si es creciente el valor de la pendiente de la recta tangente va de un valor

negativo hacia un valor positivo (figura 1) y la gráfica es cóncava hacia arriba.

2) Si es decreciente el valor de la pendiente de la recta tangente va de un

valor positivo hacia un valor negativo (figura 2) y la gráfica es cóncava hacia

abajo.

Recta con

pendiente cero.

Recta con

pendiente indefinida.

Recta con

pendiente positiva.

Recta con

pendiente positiva.

La figura muestra cuatro

tipos de rectas; dos de ellas

son casos especiales, la

recta con pendiente cero

(recta horizontal) y la

recta con pendiente

indefinida (recta vertical),

además muestra una recta

inclinada a la izquierda

(pendiente negativa) y

una recta inclinada a la

derecha (pendiente

positiva).

3

Figura 1. Gráfica cóncava hacia arriba.

Figura 2. Gráfica cóncava hacia abajo.

Siguiendo con este análisis y considerando que una función es creciente si su

derivada es positiva y decreciente si su derivada es negativa (Fuenlabrada, 2001), y

tomando en cuenta que la derivada de la primera derivada es f’’ (segunda derivada)

entonces el signo de la segunda derivada es una condición para establecer la

concavidad de la gráfica de una función. Zill (1987, p. 217) establece lo anterior en el

siguiente criterio:

“Criterio de concavidad

Sea una función para la cual existe en (a, b,)

i) Si f’’(x)>0 para todo x en (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava

hacia arriba en (a, b).

ii) Si f’’(x)<0 para todo x en (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava

hacia abajo en (a, b).”

De acuerdo con Leithold (1998), al punto en donde la

gráfica cambia de concavidad, es decir, cambia de

cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa,

se le llama punto de inflexión.

Por otro lado Zill (1987, p. 219) menciona que: “Un punto

de inflexión (c, f(c)) ocurre en un número c para el cual

f’’(c)=0 o bien f’’(c) no existe.”

Veamos

...