Informe: “Concavidad de funciones”

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“ “Año del Fortalecimiento de la Soberanía Nacional”

Facultad  de ingeniería

Escuela académico profesional  de ingeniería civil

Informe:  

“Concavidad de funciones”

Integrantes:

Curay Cruz, Grecia Anai

Valencia Sernaque, Wilmer Yampier

Renteria Ramirez, Antony Smith

Chunga Sandoval, Livia Marycarmen

Docente:

Vilcherrez Vilela, Rita Danitza

Aula y Curso:

A1T1 / Matemática II

Piura-Perú

2022

ÍNDICE

1. Introducción
2. Objetivos

1. Objetivo general
2. Objetivos específicos

1. Marco teórico

1. Definición
2. Concavidad
3. Criterio de concavidad
4. Puntos de inflexión
5. Determinando la concavidad

1. Problemas y ejercicios                          
2. Conclusiones
3. Bibliografía

1. INTRODUCCIÓN

El presente informe lleva como tema principal "Concavidad de funciones".

Al desarrollar diversas competencias y habilidades matemáticas en el curso, a raíz del aprendizaje de muchos temas. En este informe daremos a conocer diversos puntos en el tema de concavidad de funciones. Analizaremos el concepto de concavidad, criterio de concavidad, así mismo el comportamiento de los puntos de inflexión. Además, presentaremos algunos ejercicios que permitirán tener un conocimiento más amplio acerca del tema.

El tema de concavidad de funciones es un tema muy visto en la matemática, específicamente en el tema de función cuadrática. En el cual podemos determinar la concavidad como característica del gráfico de una función, referida a la condición geométrica de la región situada bajo una curva.

1. OBJETIVOS

Los objetivos del informe, son llevados netamente con fines académicos, que nos permitan el entendimiento y empleamiento de los conocimientos matemáticos, que puedan ser aplicados en situaciones reales en nuestra vida cotidiana.

2. 1 Objetivo principal:

El fin principal es el estudio profundo del tema, aplicando nuestros conocimientos obtenidos a lo largo de la investigación.

2. 2 Objetivos específicos:

Nuestros objetivos específicos se basan en dar a conocer la concavidad de funciones a través del desarrollo de ejercicios y explicación del tema.

Reforzar el trabajo en equipo, pues es una característica base para el logro de nuestro objetivo principal.

1. MARCO TEÓRICO:

3. 1 Definición:

El concepto de concavidad ya fue estudiado de alguna forma en el curso de matemática general, específicamente en el tema de función cuadrática donde se determina la concavidad hacia arriba ∪ o concavidad hacia abajo ∩ . La segunda derivada es útil en la graficación de funciones, tema que será retomado en unidades posteriores, ya que esta nos indica la concavidad que tiene una función en un intervalo determinado, así como el punto de inflexión. Este último es el punto  en el cual la función pasa de ser cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa.[pic 2]

3. 2 Concavidad:

• Sea  una función derivable sobre un intervalo .[pic 3][pic 4]
• Si es una función creciente sobre , entonces la gráfica de  es cóncava hacia arriba sobre el intervalo.[pic 5][pic 6][pic 7]
• Si  es una función decreciente sobre , entonces la gráfica de  es cóncava hacia abajo sobre el intervalo.[pic 8][pic 9][pic 10]

3. 3 Criterio de Concavidad:

Si una función es convexa, entonces las pendientes de las líneas tangentes tienen una tendencia creciente, es decir, la  es creciente. Del mismo modo, si una función es cóncava, entonces las pendientes de las líneas tangentes tienen una tendencia decreciente, es decir, la  es decreciente.[pic 11][pic 12]

Estas caracterizaciones que hemos notado se pueden usar para determinar criterios sobre la concavidad de una función de la siguiente forma: Sea  una función definida en un intervalo , si para todo [pic 13][pic 14][pic 15]

• , entonces  es convexa.[pic 16][pic 17]
• , entonces es cóncava.[pic 18][pic 19]

Esto se debe a que si la segunda derivada de una función es positiva, eso implica que la primera derivada está aumentando y por lo tanto, la función es convexa. Por otra parte, si la segunda derivada de una función es negativa, eso implica que la primera derivada es decreciente y por lo tanto, la función es cóncava. Sin embargo, encontramos puntos en los que la función deja de ser convexa para ser cóncava o deja de ser cóncava para empezar a ser convexa.

3. 4 Puntos de Inflexión:

Los puntos en los que una función cambia de concavidad, se llamarán puntos de inflexión y estarán estrechamente relacionados con la segunda derivada de la función porque en estos puntos, la derivada de la función no aumenta ni disminuye. Los candidatos perfectos son los puntos X0 tales que f’’(X0)=0  Sin embargo, sólo son candidatos porque no podemos garantizar su papel hasta que lo determinemos con precisión. Para ello, debemos estudiar el comportamiento de la función en los lados del punto en cuestión. Formalmente, es un punto de inflexión de f(x) en un intervalo (a,b) si para todo x e (a,b).

•  cuando  y cuando [pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]
•  cuando  y cuando [pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

3. 5 Determinando la concavidad

La concavidad se relaciona con la razón de cambio de la derivada de una función. Una función   es cóncava hacia arriba en los intervalos donde su derivada,  , es creciente.

Para determinar la concavidad de la gráfica de una función, debemos determinar los intervalos en los que   (concavidad hacia abajo) y en los que  (concavidad hacia arriba). Y para lograr su desarrollo, se debe seguir con el siguiente procedimiento:[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

• Determinar los valores en los que   o   no está definida.[pic 32][pic 33]
• Determinar con esos valores unos intervalos de prueba.
• Determinar el signo de  en cada uno de esos intervalos de prueba.[pic 34]

1. PROBLEMAS Y EJERCICIOS

1. Encontrar el punto de inflexión y los intervalos de concavidad haciendo uso de la segunda derivada. [pic 35]

1. Calcular los intervalos de concavidad y convexidad de la siguiente función.[pic 36]

Lo primero que debemos hacer es calcular el dominio de la función. En este caso tenemos una función polinómica, por tanto, el dominio de la función son todos los números reales:

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