Concavidad de funciones, cálculo
Enviado por UNTIPO123_AS • 6 de Junio de 2021 • Apuntes • 464 Palabras (2 Páginas) • 171 Visitas
[pic 1]
Ejemplo concavidad de funciones:
Dada la siguiente función:
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟗𝒙𝟐 en el intervalo [−𝟒, 𝟒][pic 2]
𝟐
Encuentre los puntos máximos y mínimos de la función.
- ¿Dónde la función es creciente y decreciente?
Encuentre en que intervalos la función es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.
Solución:
Para el inciso a), debemos primero encontrar los puntos críticos.
𝑓′(𝑥) = 2𝑥3 − 18𝑥 |
𝑓′(𝑥) = 2𝑥(𝑥2 − 9) = 0 |
2𝑥 = 0 → 𝒙 = 𝟎 |
𝑥2 − 9 = 0 → 𝒙𝟏 = −𝟑, 𝒙𝟐 = 𝟑 |
Para encontrar el máximo y mínimo, debemos de sustituir los valores de los extremos, más los puntos críticos −3, 0, 3 encontrados.[pic 3][pic 4]
(−4)4 𝑓(−4) = − 9(−4)2 = −16 2 |
(−3)4 𝑓(−3) = − 9(−3)2 = −𝟒𝟎. 𝟓 2 |
(0)4 𝑓(0) = − 9(0)2 = 𝟎 2 |
(3)4 𝑓(3) = − 9(3)2 = −𝟒𝟎. 𝟓 2 |
(4)4 𝑓(4) = − 9(4)2 = −16 2 |
La función tiene un valor máximo de 0 y se alcanza cuando 𝑥 = 0, y tiene un valor mínimo de −40.5 cuando 𝑥 = −3 y 𝑥 = 3.[pic 5][pic 6][pic 7]
B) Solución
Si utilizamos el criterio de la primera derivada, los intervalos que debemos de analizar son:
𝒂)(−4, −3), 𝒃)(−3,0), 𝒄)(0,3), 𝒅)(3,4). Debemos tomar un número dentro de los intervalos abiertos y sustituirlo dentro de la derivada.
[pic 8]
𝑎) 𝑓′(−3.5) = −22.75 | Decreciente | 𝑐) 𝑓′(1) = −16 | Decreciente |
𝑏) 𝑓′(−1) =16 | Creciente | 𝑑) 𝑓′(3.5) = 22.75 | Creciente |
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