Contabilidad

Teorema del seno

En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de losángulos respectivamente opuestos.

Usualmente se presenta de la siguiente forma

Teorema del seno

Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces:

DEMOSTRACION

A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una demostración particularmente simple, es poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida (aunque muy elegante)

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.

Ahora, el triángulo PCB es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2Ry por tanto son iguales.

La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:

Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:

Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:

En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de lacircunferencia circunscrita.

APLICACIÓN

El teorema del seno es utilizado para resolver problemas en los que se conocen dos ángulos del triángulo y un lado opuesto a uno de ellos. También se usa cuando conocemos dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de ellos.

RELACION CON EL AREA DEL TRIANGULO

Para un triángulo ABC, el área se calcula como ah/2 donde h es la medida de la altura sobre la base a. Nuevamente, por definición de seno, se tiene sen C = h/b o lo que es lo mismo h = b sen C, de modo que se cumple:

.

Sin embargo, el teorema de los senos implica que c = 2R sen C, por lo que al substituir en la expresión anterior se obtiene un nuevo teorema:

.

TEOREMA DEL COSENOS

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Coseno

Triangulo rectángulo en un sistema de coordenadas cartesianas.

En trigonometría el coseno (abreviado cos) de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacentea ese ángulo y la hipotenusa:

En virtud del Teorema de Tales, este número no depende del triángulo rectángulo escogido y, por lo tanto, está bien construido y define unafunción del ángulo

Otro modo de obtener el coseno de un ángulo consiste en representar éste sobre la circunferencia goniométrica, es decir, la circunferencia unitaria centrada en el origen. En este caso el valor del coseno coincide con la abscisa del punto de intersección del ángulo con lacircunferencia. Esta construcción es la que permite obtener el valor del coseno para ángulos no agudos.

En análisis matemático el coseno es la función que

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