Cuales son las grandes Ecuaciones

RAICES DE ECUACIONES

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA

INGENIERIAS Y ARQUITECTURA

INGENIERIA MECANICA

MECANICA COMPUTACIONAL

PAMPLONA NORTE DE SANTANDER

2018

RAICES DE ECUACIONES

1. METODOS CERRADOS

Para los métodos cerrados la función cambia de signo en un intervalo que encierra la raíz, por lo que supone el conocimiento previo de este intervalo. se requiere dos valores iniciales, límite inferior y límite superior entre los cuales se encuentra la raíz

1. GRAFICO

Es un método para obtener una aproximación a la raíz, donde se grafica una función y se determina visualmente donde corta en el eje x. se establece el valor de x para f(x)=0

1. Algoritmo

1. Si el intervalo [a, b] cumple que f(a)*f(b)>0 no existen raíces reales en el intervalo pues la función no toca el eje x. o existen dos raíces reales

[pic 1][pic 2]

Grafica 1.1.a                                                                       Grafica 2.1.b 

1. Si el intervalo [a,b] cumple que f(a)*f(b)<0 con certeza habrá una raíz o más de dos raíces[pic 3]                [pic 4]

Grafica 1.1.c                                                                                 Grafica 1.1.d

1. BISECCION

Parte de una función f(x) y un intervalo [Xi, Xs] de tal forma que f(Xi) * f(Xs) < 0, entonces existe al menos una raíz de f(x) entre Xi y Xs. Luego el intervalo se divide en dos y se escoge la mitad del intervalo donde se encuentra la raíz y así sucesivamente hasta obtener una aproximación adecuada

[pic 5]

Grafica 1.2

1. Algoritmo

1. Se localiza un intervalo inicial donde podemos encontrar al menos una raíz (f(Xi) * f(Xs) < 0)
2. se calcula la primera aproximación por medio de la ecuación

[pic 6]

1. se realiza la siguiente evaluación para determinar si se encontró la raíz o saber en que su intervalo se encuentra

• si f(Xi)*f(Xr) = 0 → la raíz es igual a Xr y se acaban los cálculos
• si f(Xi)*f(Xr) < 0 → la raíz se encuentra en el intervalo [Xi, Xr], Xs=Xr y Xi=Xi
• si f(Xi)*fXr) > 0 → la raíz está en el intervalo [Xr, Xs], Xi=Xr y Xs=Xs

1. se deja de iterar cuando el punto de bisección Xr prácticamente coincida con el valor exacto de la raíz

1. FALSA POSICION

La falsa posición es una alternativa basada en una visualización grafica que consiste en unir f(Xi) y f(Xs) con una línea recta, hallamos la pendiente de la recta trazada donde la intersección con el eje X será la aproximación a la raíz Xr

[pic 7]

1.  Algoritmo

1. Se obtienen los puntos (Xi, f(Xi)) y (Xs, f(Xs))
2. Se traza la recta que une estos dos puntos
3. Se halla Xr con la ecuación:

[pic 8]

1. Se realiza la siguiente evaluación

• Si f(Xi)*f(Xr) > 0 → la raíz se encuentra en el intervalo [Xr, Xs] Xr=Xi y Xs=Xs
• Si f(Xi)*f(Xr) < 0 → la raíz se encuentra en el intervalo [Xi, Xr] Xr=Xs y Xi=Xi
• Si f(Xi)*f(Xr) = 0 → la raíz es igual a Xr y se acaban los cálculos

1. METODOS ABIERTOS

Con este método se calcula una aproximación en cada iteración sin requerimiento de un intervalo donde se halle la raíz.

1. ITERACION SIMPLE DE PUNTO FIJO

Busca una raíz a partir de un valor inicial, un numero de tolerancia y un numero de iteraciones. A partir de una ecuación f(x)=0 se genera una ecuación g(x)=x

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