DENSIDAD

DENSIDAD

Entre dos números reales de diferentes cualesquiera X y Y, hay otro número real. En particular, el numero Z=(X+Y)/2 es un numero a la mitad entre X y Y. Dado que también hay un numero S entre X y Z y otro numero T entre Z y Y como este argumento puede repetirse ad infinitum, quedamos bien obligados a aceptar la sorprendente pero correcta conclusión de que entre dos numero reales diferentes cualesquiera (no importa lo cercanos que se encuentren) hay una infinidad de otros números reales. Esto destruirá de una vez para siempre nociones tales como "el numero que sigue de 3". No hay tal número. En realidad podemos decir más. Entre dos números reales distintos no hay tanto un número racional como uno irracional (y, por tanto, una cantidad infinita de cada especie).

Ejemplo: encuentre un numero racional y uno irracional comprendidos entre X y Y, si

X=0.31234158….

Y=0.31234200….

Solución: sea

Z=0.312341600000….

W=0.3123416010010001…….

Entonces, Z es racional (termina en ciclos de ceros) en tanto que W es irracional (Obsérvese el patrón de insertar mas y mas ceros entre los 1). Resulta claro que X<Z<Y.

Una forma en que los matemáticos describen la situación que hemos estado analizando consiste en decir que tanto los numerosos racionales como los irracionales son densos en la recta real (figura 4). Todo número tiene tanto vecinos racionales como irracionales arbitrariamente cercanos a él. Los dos tipos de números están entretejidos en forma inseparable e inexorablemente apiñados entre sí.

Una manifestación de la propiedad de densidad recién descrita es que se puede aproximar cualquier número irracional tanto como se desee mediante números racionales de hecho mediante un número racional con una representación decimal finito. Tómese √2 como ejemplo. La sucesión de números racionales 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213,… sigue en forma regular e inexorable hacia √2. Avanzando lo suficiente en esta sucesión, podemos llegar tan cerca de √2 como queramos.

Bibliografía:

Libro: Calculo con geometría analítica

Autor: Edwin J. Purcell

Dale Varberg

Edición: Sexta

Editorial: PHH Prentice Hall

Paginas: 7-8

AXIOMA DEL SUPREMO

El axioma de los números reales dice: Todo conjunto de números reales que tiene una cota superior tiene una minimia cota superior que es un número real. El axioma del supremo se

...