DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante.

Esta distribución corresponde a la realización de un experimento aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:

* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A, llamado éxito, o su contrario A’, llamado fracaso.

* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba del experimento a otra. Si llamamos p a la probabilidad de A, p(A) = P, entonces p(A’) = 1 – p = q

* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.

Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el modelo de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli.

En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:

Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tedioso se han construido tablas para algunos valores de n y p que facilitan el trabajo.

Calculo de la distribución de probabilidad binomial por tres métodos:

a) Utilización del Minitab 15.

b) Utilización de la fórmula

c) Utilización de las tablas binomiales

Por ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras al lanzar una misma moneda 6 veces ?

Donde:

P(X) es la probabilidad de ocurrencia del evento

p es la probabilidad de éxito del evento (en un intento) (0.5)

q es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento) y se define como

q = 1 – p (0.50)

X = ocurrencia del evento o éxitos deseados = 2 (para efectos de la tabla binomial tómese como r)

n = número de intentos = 6

a) Cálculo de la distribución de probabilidad binomial utilizando el Minitab 15.

Titular la columna C1 como X y en el renglón 1 columna 1 se coloca el número 2 (el cual representa el número de ocurrencia del evento, ya que se desea saber la probabilidad de que caigan exactamente dos caras). (Referirse a la figura 1)

Seleccionar: Calc / Probability Distributions / Binomial

En seguida aparecerá la ventana "Binomial Distribution" ("Distribucion Binomial").

Seleccionar Probability

En el campo de "Number of trials" (Número de intentos) colocar 6 (n)

En el campo de "Event probability" colocar 0.50 (probabilidad de éxito)

En el campo de "Input column" colocar el puntero del mouse y automáticamente aparecerá en el recuadro de la izquierda C1 X el cual se selecciona con el puntero del mouse y luego presionar "Select"

Una vez alimentado los datos presionar "OK" .

Para obtener así el resultado.

La probabilidad de que caigan 2 caras en el lanzamiento de una moneda 6 veces es 0.234375.

Por lo tanto:

b) Cálculo de la distribución de probabilidad binomial utilizando la fórmula

Al sustituir los valores en la fórmula se obtiene:

Resolviendo:

c) Cálculo de la distribución de probabilidad binomial utilizando las tablas binomiales.

Para una combinación de n y p,

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