Definición de intervalo

Definición de intervalo

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

Intervalo abierto

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x / a ≤ x < b}

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS

1. Los conjuntos se pueden representar gráficamente mediante curvas cerradas, conocidas con el nombre de diagramas de venn, y para poder interpretarlos correctamente hay que observar lo siguiente: elementos que pertenecen al conjunto se representan por puntos interiores a la curva.

2. Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan por puntos exteriores a la curva.

3. Ningún punto se representa sobre la curva.

4. El conjunto referencial R se representan por un rectángulo para diferenciarlos de los otros diagramas

si R = (1,2,3,4,5,6,7,8) y A= (4,5,6)

Se representara gráficamente como sigue:

Observamos que: 5\inA y 5 \in R 7 \notin A y 7 \in R 1 \notin A y 1 \in R

es decir, todo elemento de A esta en R pero no todo elemento de R esta en A. el signo \insignifica “pertenece a” El signo \notin significa “no pertenece a”

Ejemplo 1

Representamos mediante el diagrama de venn los siguientes conjuntos:

R = (x/x es un dia de la semana)

A= (x/x es un dia de la semana cuyo nombre empieza por m o por v)

Ejemplo 2

representamos mediante un diagrama de venn los conjuntos :

R= (1,2,3,4,5,6,7,8,9)

A=(1,2,3,6,7)

B=(6,7,8)

Observemos que:

6 \in A y 6 \in B , 3 \in A y 3 \notin B , 5 \notin A y 5 \notin B

Todo elemento del conjunto B esta en A.

Inecuaciones

Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:

< menor que 2x − 1 < 7

≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7

> mayor que 2x − 1 > 7

≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica.

La solución de la inecuación se expresa mediante:

1. Una representación gráfica.

2. Un intervalo.

2x − 1 < 7

2x < 8 x < 4

(-∞, 4)

2x − 1 ≤ 7

2x ≤ 8 x ≤ 4

(-∞, 4]

2x − 1 > 7

2x > 8 x > 4

(4, ∞)

2x − 1 ≥ 7

2x ≥ 8 x ≥ 4

[4, ∞)

Inecuaciones equivalentes

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x < 1

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo,

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