Definición de seria

4.1 Definición de seria

En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + • lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio:

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.

Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

4.1.1 Finita

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita

EJEMPLO

{1, 2, 3, 4,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35,...} también es una sucesión infinita

{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás

{1, 2, 4, 8, 16, 32,...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término

{A, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en orden alfabético

{A, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "Alfredo"

{0, 1, 0, 1, 0, 1,...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

Una serie finita es una serie que contiene un número finito de términos o en otras palabras, contiene predefinido el primer y el último término.

Un ejemplo de serie finita podría ser de la forma:

Aquí ‘i’ es el índice de la suma y toma los valores desde 1 (el límite inferior) hasta n (límite superior). a1 denota el término general.

Las seriesfinitas son ampliamente utilizadas en el campo de la ciencia y las computadoras. Las series finitas contienen conceptos simples pero efectivos.

Existen dos tipos posibles de series finitas:

Series Aritméticas: Una sucesión aritmética tiene un número finito de términos que difieren en una cantidad constante. Un ejemplo de tal secuencia puede ser {4, 6, 8, 10 …}. Una serie aritmética es simplemente la suma de la sucesión aritmética.

Series Geométricas: En una sucesión geométrica el cociente de 2 términos consecutivos es siempre una constante. Un ejemplo de tal secuencia puede ser {4, 8, 16 …}. Una vez más una serie geométrica es sencillamente la suma de la sucesión geométrica.

Una serie puede converger en ciertos valores y en caso que no converja entonces se dice quela serie es divergente. Existen numerosas pruebas disponibles con el fin de encontrar el carácter convergente o divergente de la serie.

Propiedades de las series finitas:

1). La suma o resta de dos series finitas es equivalente a la suma de las series por separado.

2). Una constante si es común a todos los términos de la serie puede ser excluida de la suma de los términos de la serie.

Además de estas propiedades, existen algunos teoremas importantes que pueden resultar muy útiles al tratar con las cuestiones que involucran el concepto de serie. Uno de los teoremas más importantes de las series dice que

La suma de n términos de la serie es igual a n (n + 1) / 2.

Se puede probar como:

Sea la suma de la serie se representada como S. Escribiendo S, una vez a la inversa y una vez de forma regular, obtenemos

S = 1 + 2 + 3+ 4…+ n

S = n + (n - 1) + (n - 2)…. + 1

Ahora, sumando estas dos ecuaciones obtenemos,

2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)…. + (n + 1)

Como S contiene n términos, por lo tanto, 2S también debe contener n términos.

Por tanto, 2S = n (n + 1)

Ahora, dividiendo cada lado por 2, obtenemos

S = n (n + 1) / 2, lo cual demuestra el teorema.

Un ejemplo puede ayudar a comprender el concepto de este teorema. Suponga que la serie a resolver es de la forma 2 i2 + 7i

Puede ser resuelto como:

2 i2 + 7i

= 2 i2 + 7 i

= 2 [20 (20 + 1) (2 (20) + 1) / 6] + 7 i

= 2 (17220 / 6) + 7 i

= 5740 + 7 i

= 5740 + 7 (2 (20 + 1)) / 2

= 5740 + 7 (420 / 2)

= 5740 + 1470

= 7210

Por lo tanto, el valor de la serie 2 i2 + 7i viene a ser 7210.

4.1.2 Infinita

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,

Son series de la forma S an (x - x0)n ; loss números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn.

Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.

Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros. Esto conduce al siguiente: teorema:

Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô .

Las series forman una parte esencial en el cálculo.

Serie puede ser considerado como un nombre alternativo de la suma.

Por lo tanto, una serie infinita es una suma que contiene infinitos términos. En otras palabras, se puede decir que la serie infinita es una serie en la cual todos los términos se suman en una serie infinita.

a1 + a2 + a3 + … + an +…

En algunos casos estas seriespueden dar un resultado de origen finito independientemente del hecho que se hayan sumado términos infinitos.

En tales casos se conoce a la serie como serie infinita convergente. Un caso contrario es cuando la serie es divergente.

Para las series divergentes deben existir dos casos:

Sn oscila sin alcanzar el límite a medida que n incrementa.

Sn es una función de n que se mueve hacia un límite S cuando n

Determinar si la serie es de origen divergente o convergente es el primer y más importante paso necesario a determinar mientras tratamos con las series.

Existen varias pruebas disponibles para determinar si una serie es convergente o divergente. Estas pruebas incluyen:

1) Prueba del Enésimo Término:Sencillamente dice que si el enésimo término de la serie no converge en 0, entonces se dice que la serie es divergente.

2) P-series: Las series o la suma de la forma se dice que es convergente en el caso que p> 1 y se dice que es divergente cuando p 1.

3) Prueba de la Razón: Esta prueba consta de 3 sub casos:

a) La serie se dice que es convergente en caso de que

b) La serie se dice que es divergente en el caso que

c) Si los límites se hacen igual a 1, entonces la prueba se dice que es n-conclusiva

4) Prueba de la Raíz: Esta prueba se puede aplicar a las series de la forma . Se dice que la serie converge si <1.

Por otro lado si el límite excede en uno, entonces se dice que la serie es divergente.

Similar a la prueba de la razón, si el límite es igual a 1, se dice entonces quela prueba de la raíz esinconclusa.

5) Prueba de Comparación Directa: Si se encuentra quela serie es más pequeña en comparación con el punto de referencia de convergencia de la serie, se dice entonces quela serie converge.

Mientras se dice que la serie diverge en caso que sea mayor que el punto de referencia de convergencia de la serie.

6) Prueba Límite de Comparación:Suponga que hay dos series dadas y . Las series pueden ser tanto convergentes como divergentes basados en las siguientes condiciones:

a) an> 0 y bn>0

b) = L. Aquí L debe ser positiva y finita.

Puede existir el caso cuando se encuentra quela serie es de naturaleza alternante. Para dicha serie, con el fin de determinar si converge, se necesita tomardos puntos en consideración:

a) El enésimo término de la serie debe converger hacia 0.

b) Cada término precedente

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