Dieta Japonesa

Movimiento vertical de una esfera en un fluido viscoso

Descripción

La esfera se mueve bajo la acción de las siguientes fuerzas: el peso, el empuje, al estar el cuerpo sumergido en un fluido, y una fuerza de rozamiento que es proporcional a la velocidad de la esfera (suponemos que el flujo se mantiene laminar).

El peso es el producto de la masa por la aceleración de la gravedad. La masa es el producto de la densidad del material por el volumen de la esfera

De acuerdo con el principio de Arquímedes, el empuje es igual al producto de la densidad del fluido por el volumen del cuerpo sumergido, y por la aceleración de la gravedad.

La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad, y su expresión se denomina ley de Stokes

donde  es la viscosidad del fluido.

La ecuación del movimiento será, por tanto,

La velocidad límite se alcanza, cuando la aceleración sea cero, es decir, cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre la esfera es cero.

De aquí despejamos la velocidad límite

Podemos obtener, mediante una integración simple la velocidad de la esfera en función del tiempo. Transformamos la ecuación del movimiento en esta otra

donde F es la diferencia entre el peso y el empuje

Obtenemos

Esta ecuación nos dice que se alcanza la velocidad límite vl después de un tiempo teóricamente infinito. Si representamos v en función del tiempo t la gráfica tienen una asíntota horizontal en v=vl.

Dada la velocidad en función del tiempo, podemos obtener mediante otra integración la posición x del móvil en función del tiempo t. Suponemos que la esfera parte del origen en el instante inicial.

se obtiene

Dado que la exponencial tiende a cero rápidamente a medida que transcurre el tiempo, vemos que el desplazamiento x del móvil es proporcional al tiempo t.

Las diferencias entre el movimiento de un cuerpo en caída libre y cuando cae en el seno de un fluido viscoso se pueden resumir en el siguiente cuadro

Caída libre En el seno de un fluido viscoso

La

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