Diferencial Total

DIFERENCIAL TOTAL

La derivada y la diferencial no significan lo mismo.

REVISIÓN DE CONCEPTOS DE DERIVADA Y DIFERENCIAL

Recordemos las definiciones y nomenclatura:

∆x: Incremento finito en la variable “x”.

∆y: Incremento finito en la variable “y”.

Concepto de derivada:

dy/dx=lim┬(∆x→0)⁡〖∆y/∆x〗 : derivada de “y” con respecto a “x”

Concepto de diferencial:

dy: diferencial de “y” o variación infinitesimal de “y”.

dx: diferencial de “x” o variación infinitesimal de “x”.

Relación entre diferencial y derivada:

dy=(dy/dx)dx

Según esta expresión “la diferencial de “y” es igual a la derivada de “y” con respecto a “x” por la diferencial de “x”” (la variación en “y” es igual a la rapidez con la que cambia “y”con respecto a “x” multiplicada por lo que varíe “x”).

Concepto de derivada parcial y diferencial total

Si una función tiene más de una variable, aparecen las llamadas “derivadas parciales” con el objetivo de analizar como varía la función respecto a una variable en particular. Para el caso de una función de 2 variables se puede escribir que:

z=f(x,y)

Y su diferencial total viene ahora dada por:

dz=(dz/dx)_y dx+(dz/dy)_x dy

Dónde: (dz/dx)_y es la llamada derivada parcial de “z” respecto a “x” manteniendo la “y” constante.

Asimismo, (dz/dy)_x es la derivada parcial de “z” respecto a “y” manteniendo la “x” constante.

(Nótese que el símbolo para derivada parcial es ∂ en lugar de d).

Un ejemplo sería la ecuación de los gases ideales para un número fijo de moles de gas “n”:

PV=nRT → V=nRT/P

Cumpliéndose que: (∂V/∂T)_P=nR/P y que: (∂V/∂P)_T=-nRT/P^2

Y la diferencial total para V seria:

dV=(∂V/∂T)_P dT+(∂V/∂P)_P dP → dV=nR/P dT+(-nRT/P^2 ) dP

Diferencial total

En matemática, el diferencial total de una función real de varias variables reales corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los del gradiente de la función.

Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n, donde n es el número de variables dependientes de la función. Por ejemplo, si una función diferenciable entonces el diferencial total de z es:

Representación

En cálculo vectorial, el diferencial total de una función se puede representar de la siguiente manera:

Donde f es una función .

Derivada total

La derivada total viene de derivar una función f que tiene variables (x, y, z) que dependen de otras variables x = x(t), y = y(t), z = z(t). En ese caso, se puede derivar la función respecto a t, y se obtiene que:

Donde x' es la derivada respecto a t de x, al igual que y', z'.

Se vuelve necesaria distinguir la notación de derivada total de la parcial cuando se deriva una función del tipo que es fundamental para el cálculo de variaciones, donde aquí la variable x depende del tiempo Entonces derivar respecto al tiempo queda

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Un ejemplo algo más complejo y más ilustrativo podría ser en ese caso, la derivada total es

Ejemplo #1

La diferencial total dz para es

Diferencial total para funciones de mas variables

Si el diferencial de w es,

Ejemplo #2

La diferencial total dw para es

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