Distribucion Geometrica

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

Esta distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento, para obtener la fórmula de esta distribución, haremos uso de un ejemplo.

Ejemplo:

Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la probabilidad de que aparezca águila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de que en el último lanzamiento aparezca una águila.

Solución:

Si nosotros trazamos un diagrama de árbol que nos represente los 8 lanzamientos de la moneda, observaremos que la única rama de ese árbol que nos interesa es aquella en donde aparecen 7 sellos seguidos y por último una águila; como se muestra a continuación:

S S S S S S S A

Sí denotamos;

x = el número de repeticiones del experimento necesarias para que ocurra un éxito por primera y única vez = 8 lanzamientos

p = probabilidad de que aparezca una águila = p( éxito) = 2/3

q = probabilidad de que aparezca un sello = p(fracaso) = 1/3

Entonces la probabilidad buscada sería;

P(aparezca una águila en el último lanzamiento)=p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A) =

=q*q*q*q*q*q*q*p =

Luego, la fórmula a utilizar cuando se desee calcular probabilidades con esta distribución sería;

Donde:

p(x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x por primera y única vez

p = probabilidad de éxito

q = probabilidad de fracaso

Resolviendo el problema de ejemplo;

x = 8 lanzamientos necesarios para que aparezca por primera vez una águila

p = 2/3 probabilidad de que aparezca una águila

q = 1/3 probabilidad de que aparezca un sello

p(x=8) =

Ejemplos:

1. Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el primero que no muestre una desviación excesiva?.

Solución:

a) x = 6 que el sexto dispositivo de medición probado sea el primero que muestre una variación excesiva

p = 0.05 =probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva

q = 0.95 =probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva

p(x = 6) =

b) x = 5 que el quinto dispositivo de medición probado, sea el primero que no muestre una desviación excesiva

p = 0.95 = probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva

q = 0.05 = probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva

p(x = 5) =

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