Distribución Binomial

Distribución de Probabilidad

La distribución de probabilidad es el despliegue de todos los posibles resultados de un experimento junto con las probabilidades de cada resultado.

La Distribución de Probabilidades puede ser:

Variable discreta.

Variable continua.

Variable Discreta

Distribución Binomial

Definición: Es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos, Cada ensayo en una distribución binomial termina en solo uno de dos resultados posibles, mutuamente excluyentes, uno de los cuales se identifica como un éxito y el otro como un fracaso. La probabilidad de cada resultado permanece constante de ensayo en esayo y se calcula su probabilidad con las formulas siguientes:

P(x) = n!/x!(n-x)! π^x 〖(1-π)〗^(n-x)

P(x) = n∁x π^x 〖(1-π)〗^(n-x)

Características de la distribución Binomial

Solo existen dos posibles resultados, Éxito o Fracaso.

La probabilidad de éxito (π)

La probabilidad de Fracaso es (1-π)

Es un evento independiente, ya que no depende de ningún otro evento para su resultado.

Se puede realizar infinidad de ensayos.

Ejemplos

El 10% de los discos duros de una computadora producidos salen defectuosos. Si hay 20 discos en una caja.

¿Cuántos discos esperaría usted que salieran defectuosos?

π=0.1 n=20

μ=nπ; 20 (0.1) = 2

¿Cuál es la probabilidad de que el número de discos defectuosos sea igual al número esperado que usted encontró?

π=0.1 (1-π)= 0.9 n-x=18

P(x) = (2⁄n=20,π=0.1)

20∁_2 x 〖0.10〗^2 x 〖0.9〗^18=0.2852

Solo 20% de los empleados de la población civil portaron su identificación si llegan 10 empleados ¿Cuál es la probabilidad que el guardián encuentre

8 empleados con Identificación?

P (x=8⁄n=10,π=0.1)

∁_8 x 〖0.2〗^8 x〖0.8〗^2=0.00007 ó 〖7.97x10〗^(-5)=0.0001

4 empleados con identidad

P (x=4⁄n=10,π=0.20)=₁₀∁_4 x 〖0.2〗^4 x〖0.8〗^6=0.0881

Distribución de Poisson

Definición: Es una distribución de probabilidad discreta que mide la probabilidad de un evento aleatorio sobre algún intervalo de tiempo o espacio por unidad de tiempo o espacio.

Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento un número "n" muy elevado de veces y la probabilidad de éxito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribución de Poisson:

Se tiene que cumplir que:

“p” < 0,10

“p x n” < 10

La distribución de Poisson sigue el siguiente modelo:

Vamos a explicarla:

El número "e" es 2,71828

"" = n x p (es decir, el número de veces "n" que se realiza el experimento multiplicado por la probabilidad p" de éxito en cada ensayo)

"k" es el número de éxito cuya probabilidad se está calculando

ejemplo:

La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, ¿Cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes?

Como la probabilidad "p" es menor que 0,1, y el producto "n x p" es menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson.

Luego,

P (x = 3) = 0,0892

Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de tráfico en 300 viajes es del 8,9%

La probabilidad de que un niño nazca pelirrojo es de 0,012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 recién nacidos haya 5 pelirrojos?

Luego,

P (x = 5)

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